Prueba: Hay una línea en el plano xy que pasa a través de coordenadas solamente racionales?

Question

Pregunta: hay una línea en el plano XY que tiene todos racional de coordenadas. Demostrar tu respuesta.

Idea: es más seguro que no. Creo que puede ser demostrado que entre 2 puntos racionales de que hay al menos una irracional de coordenadas. Por lo tanto, no puede haber una línea que contiene sólo los puntos racionales. El problema es que no estoy seguro de cómo mostrar este. Alguna idea? También estoy abierto a otras ideas de cómo hacer esto. Gracias.

Nota: esto es para una introducción a las pruebas de la guía de estudio. Así que, prefiero no uso avanzado de teoremas.

Answer 1

Dos pruebas.

Primero basado en cardinalidad. Una línea tiene la cardinalidad del continuo como $\mathbb R$, $\mathbb Q$ es contable.

Segundo uno. Una línea tiene una ecuación $ax+by+c=0$ $(a,b) \neq (0,0)$. Si $a \neq 0$ $(-\frac{b \pi +c}{a},\pi)$ pertenece a la línea y la segunda coordenada de ese punto no es racional. Mientras que si $a=0$, $(\pi,-\frac{c}{b})$ pertenece a la línea (gracias al comentario de immibis ).

Answer 2

A menos que la línea es vertical siempre se puede elegir un irracional $x$ (y considerar el punto de $(x,y)$, en la línea, que no tiene todas racional coordenadas, independientemente de si $y$ pasa a ser racional o irracional). Si la línea es vertical, entonces usted podría escoger cualquier irracional $y$ y considerar el punto de $(x,y)$. Suponiendo que se trabaja con líneas rectas. (También, asumir que usted sabe que los números irracionales existen, por ejemplo, $\sqrt{2}$ , como de otros comentarios y respuestas, esto parece ser parte de su pregunta. Así que, de nuevo, dicho de otra forma, si la línea no es vertical, a continuación, $(\sqrt{2},y)$ está en la línea de algunos de los $y$ $\sqrt{2}$ es irracional. Si la línea es vertical, a continuación, $(x,\sqrt{2})$ está en la línea para algunos (único) $x$, y esta vez la segunda coordenada es $\sqrt{2}$, irracional. También es cierto que hay infinitamente muchos puntos al igual que en la línea de, por ejemplo, el uso de $\frac pq\sqrt{2}$ o $\frac pq\pi$ $\frac pq e$ en lugar de $\sqrt2$, todos ellos son irracionales siempre $\frac pq$ es racional, y muchos más, forman un denso conjunto y se parecen hacer un comentario en relación a eso, pero para el propósito de responder a tu pregunta, sólo un punto con (al menos) un irracional coordinar basta.)

Answer 3

Por una línea, que significa tomar un conjunto de puntos de satisfacción $y=mx+b$.

Si $b$ es irracional que $x=0$. Asumir $b$ es racional. Si $m$ % que irracional $x=1$. Asumir $m$ es racional. Que $x$ ser su favorito número irracional.

Answer 4

Bueno, no.

Podemos ser quisquilloso. Se supone que su avión es el habitual de dos dimensiones $\mathbb R \times \mathbb R$ avión? Podemos argumentar que si su "universo" es sólo los números racionales, a continuación, $\mathbb Q \times \mathbb Q$ es también un avión, pero este "universo" se define sólo han racionales por lo que las líneas sólo tienen racional de coordenadas.

Pero que yo, por ser pedante y tratando de intimidar.

Si su "universo" es el de los números reales, entonces:

En general, una línea que tiene la fórmula $y = mx + b$ (hay un tipo de excepción). Y sabemos que los números irracionales existe. Así, para una irracional $z$ el punto de $(z, mz + b)$ existe y esta no es una forma racional de coordenadas como $z$ no es racional.

La excepción es que las líneas verticales. Estos son de la forma $x = c$. Pero estas líneas pasan a través de cada valor de $y$. (En realidad, todos los que no son líneas horizontales que pasan a través de todos los valores de $y$. Líneas verticales que pasan a través de todos los $y$, líneas horizontales que pasan a través de todos los $x$, y todas las otras líneas de pasar a través de todos los $x$ y todos los $y$). Así que esta va a tener el punto de $(c, z)$ que no es un racional de coordenadas.