Una de 1.400 años de antigüedad en la aproximación a la función seno por Mahabhaskariya de Bhaskara I

Question

La aproximación a $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ fue propuesto por Mahabhaskariya de Bhaskara I, un séptimo de la India del siglo matemático.

Me preguntaba cuánto de esto se podría mejorar el uso de las computadoras y por lo que he intentado (muy indecorosamente) para ver si se podía hacer mejor uso de $$\sin(x) \simeq \frac{a (\pi -x) x}{5 \pi ^2-b (\pi -x) x}$$ I so computed $$\Phi(a,b)=\int_0^{\pi} \left(\sin (x)-\frac{a (\pi -x) x}{5 \pi ^2-b (\pi -x)x}\right)^2 dx$$ the analytical expression of which not being added to the post. Settings the derivatives equal to $0$ and solving for $un$ and $b$, I arrived to $a=15.9815,b=4.03344$ tan cerca de la aproximación original !

Lo que es interesante es comparar los valores de $\Phi$ : $2.98 \times 10^{-6}$ sólo la disminución de la a $2.17 \times 10^{-6}$. Entonces, ninguna mejora y la pérdida de atractivo de los coeficientes.

Ahora, ya que esto es una cuestión de etiqueta en este sitio, en una sencilla pregunta:

con todas las herramientas y máquinas que tenemos en nuestras manos, podría cualquiera de nuestra comunidad de proponer algo tan simple (o casi) de básica de las funciones trigonométricas ?

En los debates, como he mencionado, uno que me hizo (es probable que me reinventado la rueda) en el mismo espíritu $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$ which is amazing too ! For this interval, we could derive $$\sin(x) \simeq \frac{10 \pi ^2 x}{\left(x^2+\pi ^2\right)^2}$$ and over this interval, using the approximations $$\frac 1\pi\int_{-\frac \pi 2}^{-\frac \pi 2}\left((\sin^2(x)+\cos^2(x)\right)\,dx=26-24 \pi +48 \tan ^{-1}(2)-7 \cot ^{-1}(2)+\frac{375 \cot ^{-1}(2)-26}{30 \pi ^2}$$ which is $\aprox 0.998786$.

Answer 1

Una manera simple de derivar esto es para venir para arriba con una parábola aproximación. Acaba de llegar a las raíces correcta tenemos

$$f(x)=x(\pi-x)$$

Entonces, necesitamos escala (para obtener las alturas correctas). Y vamos a hacer que al dividir por otra parábola $p(x)$

$$f(x)=\frac{x(\pi-x)}{p(x)}$$

Vamos a arreglar esto en tres puntos (por lo tanto la definición de una parábola). Fácil de puntos racionales sería al $\sin$ $1/2$ o $1$. Así que la fijan en $x=\pi/6,\pi/2,5\pi/6$.

Queremos $$f(\pi/6)=f(5\pi/6)=1/2=\frac{5\pi^2/36}{p(\pi/6)}=\frac{5\pi^2/36}{p(5\pi/6)}$$ Y llegamos a la conclusión de que $p(\pi/6)=p(5\pi/6)=5\pi^2/18$

Hacemos lo mismo en la $x=\pi/2$ a la conclusión de que la $p(\pi/2)=\pi^2/4$.

La única parábola a través de esos puntos es

$$p(x)=\frac{1}{16}(5\pi^2-4x(\pi-x))$$

Y así tenemos la aproximación original.

En el espíritu de responder a la pregunta: Este método podría ser aplicado para la mayoría de las funciones trigonométricas en algunos pequeños simétrica obligado.

Answer 2

Esto podría ser más explicable si se observa que es la misma cosa como

$$ \csc(x) \approx -\frac{1}{4} + \frac{5 \pi}{16} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\pi - x} \right) $$

Los dos sumandos en los paréntesis son obvias si usted quiere conseguir los polos de $\csc$ correcto. Si quería una buena aproximación de $\csc$ cerca de los polos, entonces el coeficiente de frente debería ser $1$. Pero ya que nos estamos aproximando $\sin$, que está bien para conseguir que mal, porque nada cerca de cero está cerca de cero.

El punto extremo es en $\csc(\pi/2) = 1$; en la aproximación, esto vendría a ser

$$ -\frac{1}{4} + \frac{5 \pi}{16} \left( \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} \right) = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4} = 1$$

y así vemos la aparición de la copia restante de $\pi$ es para cancelar las otras dos $\pi$'s. Todo lo que queda es ajustar el factor de $\frac{5}{16}$ a algo apropiado, y ajustar el $-\frac{1}{4}$ para compensar. No estoy seguro de que la elección de $\frac{5}{16}$ viene, aunque es bastante plausible debe ser cerca de $\frac{1}{\pi}$; quizá fue elegida para ser una pequeña fracción cuyo denominador era divisible por $4$, así como a cancelar la $4$$\frac{4}{\pi}$.

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Como un poco de un lado, mi comentario acerca de los polos sugiere una infinita suma de $\csc(x)$ que yo no había visto antes:

$$ \csc(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{x - \pi n} $$

Answer 3

$~\quad~$ , Mientras estás en ello, intenta también $\cos\bigg(\dfrac\pi2x\bigg)\simeq\Big(1-x^2\Big)^\tfrac65$ $\cos\bigg(\dfrac\pi2x\bigg)\simeq\Big(1-x^2\Big)^\tfrac76$

$~$ Pero desde la evaluación numérica de fracciones de poderes es significativamente más tiempo en términos de CPU, se puede mejorar sustancialmente con el binomio de la serie para $\Big(1-x^2\Big)^\tfrac15$, y ajustar experimentalmente el coeficiente de llegar finalmente a $\color{darkgreen}{\cos\bigg(\dfrac\pi2x\bigg)\simeq\Big(1-x^2\Big)\bigg(1-\dfrac{x^2}{4.5}\bigg)}$, lo que produce un error absoluto de alrededor de $\pm1$ ‰