suma de dos independiente distribución exponencial

Question

que $Y_1\sim \exp(\lambda_1)$ y $Y_2\sim \exp(\lambda_2)$ y $V=Y_1+Y_2$

Muestran que el pdf de $p_V(x)$ $V$ tiene la siguiente forma $$p_V(x)=\frac{e^\frac{-v}{\lambda_1}-e^\frac{-v}{\lambda_2}}{\lambda_1-\lambda_2};\quad v\ge0$ $

Mi intento:

distribución de $Y_i$, $$p_{Y_i}(y_i)=\frac{1}{\lambda_i}e^\frac{-{y_i}}{\lambda_i};\quad x\ge0;\quad i=1,2$ $

conjunto de distribución de los $Y_1$ y $Y_2$, $$p_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}e^{\frac{-{y_1}}{\lambda_1}-\frac{{y_2}}{\lambda_2}};\quad {y_1},{y_2}\ge0$ $

Dado, $V=Y_1+Y_2$

que $U=Y_2$

Entonces el jacobiano de la transformación es $1$

y por lo tanto distribución de $V$ y $U$, $$p_{V,U}(v,u)=\frac{1}{\lambda_1\lambda_2}e^{\frac{-{v-u}}{\lambda_1}-\frac{{u}}{\lambda_2}};\quad {v},{u}\ge0$ $

así que la distribución de $v$ % $ $$p_{V}(v)=\int_0^\infty p_{V,U}(v,u)du=\frac{e^\frac{-v}{\lambda_1}}{\lambda_1-\lambda_2};\quad v\ge0$

que no coincide con el resultado.

Answer 1

Podemos calcular la función de distribución acumulativa de $V$ y luego distinguir. Es más rápido utilizar la convolución $$\int_{-\infty}^\infty f_1(z-t)f_2(t)\,dt,$ $ donde $f_1$ y $f_2$ son las densidades de nuestras variables aleatorias.

La función de densidad $f_V(v)$ $V$ es $0$ $v\lt 0$. Así nos fijamos sólo en el caso $v\ge 0$. En nuestro caso, ya que los exponentes tienen densidad $0$ a la izquierda de $0$, la expresión real es $$f_V(v)=\int_{t=0}^v \lambda_1 \lambda_2 e^{-\lambda_1(v-t)}e^{-\lambda_2 t}\,dt.$ $ básicamente estamos integrando $e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}$, que no es difícil.