¿Por qué es $\partial_z\partial_{\bar z}=\frac14\left(\partial_r^2+\frac1r\partial_r+\frac1{r^2}\partial_{\theta}^2\right)$ ?

Question

Tengo que mostrar la identidad que escribí en el título: debería ser $\partial_z\partial_{\bar z}=\frac14\left(\partial_r^2+\frac1r\partial_r+\frac1{r^2}\partial_{\theta}^2\right)$ pero algunos cálculos no coinciden con mi libro con estos operadores.

Sabemos que $\partial_z\partial_{\bar z}=\frac14(\partial_x^2+\partial_y^2)$ . Luego pasamos a coordenadas polares escribiendo $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ de lo cual, obviamente tenemos $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta=\arctan\frac yx$ . Utilizamos que la regla de la cadena para escribir $$ \partial_x=\frac{\partial r}{\partial x}\partial_r+\frac{\partial\theta}{\partial x}\partial_{\theta}=\cos\theta\partial_r-\frac{\sin\theta}{r}\partial_{\theta} $$ y $$ \partial_y=\frac{\partial r}{\partial y}\partial_r+\frac{\partial\theta}{\partial y}\partial_{\theta}=\sin\theta\partial_r+\frac{\cos\theta}{r}\partial_{\theta} $$

y hasta aquí todo coincide con mi libro. Mi problema viene ahora: He utilizado el citado $\partial_z\partial_{\bar z}=\frac14(\partial_x^2+\partial_y^2)$ pero esto me da $$ \partial_z\partial_{\bar z}=\frac14\left(\partial_r^2+\frac1{r^2}\partial_{\theta}^2\right) $$ porque los términos "cruzados" son iguales y opuestos: la cuadratura $\partial_x$ el término "cruzado" es $-\frac2r\cos\theta\sin\theta\partial_r\partial_{\theta}$ , cuadrando $\partial_y$ el término "cruzado" es $\frac2r\cos\theta\sin\theta\partial_r\partial_{\theta}$ por lo que en la suma deberían desaparecer.

¿Dónde está el error?

EDITAR: siguiendo la sugerencia de Andrea, escribí \begin {align*} \partial_x ^2+ \partial_y ^2 &= \left ( \cos\theta\partial_r - \frac { \sin\theta }{r} \partial_ { \theta } \right ) \left ( \cos\theta\partial_r - \frac { \sin\theta }{r} \partial_ { \theta } \right )+ \\ &\;\;\;\;\;\, \left ( \sin\theta\partial_r + \frac { \cos\theta }{r} \partial_ { \theta } \right ) \left ( \sin\theta\partial_r + \frac { \cos\theta }{r} \partial_ { \theta } \right ) \\ &= \cos ^2 \theta\partial_r ^2+ \frac { \sin\theta }{r} \cos\theta\partial_ { \theta } + \frac { \sin ^2}{r} \partial_r + \cos\theta\frac { \sin\theta }{r^2} \partial_\theta + \\ &\;\;\;\;\;\; \sin ^2 \theta\partial_r ^2- \frac { \cos\theta }{r} \sin\theta\partial_ { \theta } + \frac { \cos ^2}{r} \partial_r - \sin\theta\frac { \cos\theta }{r^2} \partial_\theta\\ =& \partial_r ^2+ \frac1r\partial_r \end {align*}

¡lo cual es falso otra vez! ¡He comprobado varias veces, pero no puedo encontrar donde está mi error!

Muchas gracias.

Answer 1

Ha derivado correctamente $$ \frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \\ \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} & =\left(\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\left(\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right) \\ & = \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\cos\theta\frac{\partial}{\partial r} \\ & -\cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \\ & -\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\cos\theta\frac{\partial}{\partial r} \\ & + \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \end{align} $$ Es cierto que $$ \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\cos\theta\frac{\partial}{\partial r} = \cos^{2}\theta\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} $$ Sin embargo, la regla del producto da $$ \begin{align} \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} & = \cos\theta\sin\theta\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \\ & = \cos\theta\sin\theta\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r\partial\theta} - \cos\theta\sin\theta\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta} \end{align} $$ Por lo tanto, mantener las cosas en líneas separadas para que usted pueda inspeccionar, $$ \begin{align} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} & = \cos^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} \\ & -\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r\partial \theta} +\frac{\cos\theta\sin\theta}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial \theta} \\ & -\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta\partial r} +\frac{\sin^{2}\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r} \\ & + \frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}} +\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta} \end{align} $$ Cada término de la derivada de primer orden proviene de una regla de producto. De manera similar, $$ \begin{align} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} & = \sin^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} \\ & +\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r\partial\theta}-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta} \\ & +\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta\partial r} + \frac{\cos^{2}\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r} \\ & +\frac{\cos^{2}\theta}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}} -\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial\theta} \end{align} $$ Ahora, al sumarlos, se obtiene $$ \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial\theta^{2}} $$

Answer 2

Cuando se "multiplican" dos operadores diferenciales, como $\cos\theta\,\partial_r$ y $\frac{\sin\theta}r\,\partial_\theta$ el operador de la derivada en el primer factor actúa sobre el coeficiente en el segundo factor.

Answer 3

Uno tiene $\theta=\arctan{y\over x}$ (no $=\arctan{x\over y}$ ) cuando $x>0$ pero $$\theta_x={1\over1+ {y^2\over x^2}}\left(-{y\over x^2}\right)={-y\over x^2+y^2}=-{\sin\theta\over r}$$ y $$\theta_y={1\over1+ {y^2\over x^2}}{1\over x}={x\over x^2+y^2}={\cos\theta\over r}$$ son válidos en todos los $\dot{\Bbb R}^2$ .

Tienes el signo equivocado en tu fórmula mostrada para $\partial_y$ .