Cómo lidiar con un indefinido L ' operación de hospital

Question

Hoy en nuestro AP Cálculo de clase, hemos aprendido lo que se llama la regla de L'Hôpital para encontrar el límite de indefinido límites de $\infty/\infty$ o $0/0$. La operación de obras de continuar tomando la derivada de la límite hasta que la respuesta no es indeterminado. ¿Cómo sería una "identificar antes de tiempo" y, si es posible, resolver un límite que estaría continuamente derivados, sin alcanzar un indeterminado respuesta?

Por ejemplo algo que a lo largo de las líneas de $\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^{x}}{e^{x}}$

¿No sería este ejemplo se indefinidamente derivados para lograr la respuesta?

Answer 1

Ejecutar en este problema si $(f^2)' = (g^2)'$ y

$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{g(x)}{f(x)} .$$

Por ejemplo, trate de aplicar la regla de L'Hospital de a

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

En este caso, la aplicación de la regla no es concluyente, pero por otros medios puede mostrar este límite es igual a $1$.

Otro ejemplo es

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x - e^{-x}}.$$

Aquí tenemos

$$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x+e^{-x}}{e^x - e^{-x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{1+e^{-2x}}{1 - e^{-2x}}=1.$$

Otro tipo de problema se produce cuando el límite de la relación de los derivados no existe. Considere, por ejemplo, $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ $g(x) = x.$

Entonces

$$\frac{f'(x)}{g'(x)}= 2x \sin(1/x) - \cos(1/x),$$ y el límite de $x \to 0$ no existe.

Sin embargo, es fácil mostrar que

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0.$$

Answer 2

La respuesta por LRD da muy buenos ejemplos de L'Hospital de la Regla de la falla (o no es útil) así que no me extenderé sobre ellos. Prefiero centrarme en la técnica de aplicar la Regla de L'Hospital de evaluar ciertos límites.

Antes de empezar a aplicar esta regla, es importante conocer las condiciones bajo las cuales es aplicable:

• Si "$f(x) \to 0, g(x) \to 0$" o "$g(x) \to \infty$" o "$g(x) \to -\infty$", entonces uno puede pensar en la aplicación de la regla para calcular el límite de la ración $f(x)/g(x)$.
• Sin embargo, la regla será útil sólo cuando, además de la primera condición por encima del límite de la relación de $f'(x)/g'(x)$ también existe.

Uno espera que la evaluación del límite de $f'(x)/g'(x)$ sería más simple de evaluar el límite de $f(x)/g(x)$. Tenga en cuenta sin embargo que el uso de L'Hospital de la regla, sucesivamente, casi nunca es una buena idea, porque repite la diferenciación puede conducir a funciones complicadas. Uno espera que después de la aplicación de la regla, la relación $f'(x)/g'(x)$ puede ser simplificado (a través de la manipulación algebraica) así como hacer uso de los límites estándar y así evaluar su límite.

Answer 3

Si factor $e^x$, consigue $\lim_{x \to ∞} 1 = 1$