Extensión del teorema de Goldstine

Question

¿Es la verdadera afirmación siguiente?

Demanda. Que $E$ ser un espacio de Banach y $F$ su subespacio cerrado. Asumir $x\in (E\setminus F)\cup\{0\}$ y $y^{**}\in F^{\perp\perp}$, entonces existe un neto $(y_\alpha)\subset F$ tal que $\sup_{\alpha}\Vert x+y_\alpha\Vert\leq\Vert x+y^{**}\Vert$ y $(y_\alpha)$ % débiles $^*$convergen a $y$ $\sigma(Y^{**}, Y^*)$ topología.

Para obtener el teorema Goldstine tomar $x=0$.

Si el reclamo es falso ¿qué assummptions adicional?

Answer 1

Aquí es una versión mejorada de contraejemplo que he publicado en los comentarios. Considere la posibilidad de $c_0$, el espacio real de secuencias de $(x_n)_{n=0}^\infty$ que convergen a $0$. Bajo el estándar supremum norma, su doble es $\ell_1$ y la segunda dual es $\ell_\infty$. La vinculación de ambas dualidades es $\langle x,y\rangle = \sum_{n=0}^\infty x_n y_n$.

Nuestra $E$ $c_0$ con otra norma,
$$\|\mathbf x\|_E = \max\left( \frac12 |x_0|, \ \sup_{n\ge 1} |x_n-x_0|\right) \tag{1} $$ Es fácil ver que $$ \frac12\sup_{n\ge 0}|x_n| \le \|\mathbf x\|_E \le 2\sup_{n\ge 0}|x_n|$$ es decir, la norma es equivalente a la original. Por lo tanto, de las dualidades permanecer en el lugar, salvo que el doble de las normas sobre el $E\approx \ell_1$ $E^{**}\approx \ell_\infty$ no será el mismo que $\ell_1$ $\ell_\infty$ normas.

No quiero calcular la norma de $E^*$, por lo que uso Goldstine del teorema para demostrar que la nueva norma en $E^{**} \approx \ell_\infty$ todavía está dada por (1). De hecho, Goldstine del teorema implica que para $\mathbf y \in E^{**}$, $$\|\mathbf y\|_{E^{**}} = \inf \left(\limsup_k \|\mathbf y_k\|_E\right)$$ donde el infimum se toma sobre todas las secuencias de $(\mathbf y_k)$ $E$ convergentes a $\mathbf y$ en la débil* topología. (Basta mirar las secuencias, debido a $E^*$ es separable.) Por truncar $\mathbf y$ obtenemos una secuencia de este, lo que muestra $$\|\mathbf y\|_{E^{**}} \le \max\left( \frac12 |y_0|, \ \sup_{n\ge 1} |y_n-y_0|\right) \tag{2}$$ Por otro lado, la débil* la convergencia implica coordinatewise convergencia, y el lado derecho de (2) es semicontinua inferior bajo coordinatewise convergencia (es un supremum de funciones continuas). Por lo tanto, para cualquier secuencia $\mathbf y_k$ débilmente* la convergencia a la $\mathbf y$ hemos $$ \max\left( \frac12 |y_0|, \ \sup_{n\ge 1} |y_n-y_0|\right) \le \liminf_{k\to\infty} \|\mathbf y_k\|_E $$ Por lo tanto, (2) tiene como una igualdad.

Queda por describir el contraejemplo: $$\begin{split}F&=\{\mathbf x\in c_0: x_0=0\}\\ F^\perp &=\{\mathbf x\in \ell_1: x_n=0\ \forall n\ge 1\} \\ F^{\perp \perp}&=\{\mathbf x\in \ell_\infty: x_0=0\}\\ \mathbf x&=(1,0,0,0,\dots)\in E\setminus F \\ \mathbf y^{**} &= (0,1,1,1,\dots)\in F^{\perp\perp} \end{split}$$

Para cada $\mathbf y\in F$ tenemos $\|\mathbf x+\mathbf y\|\ge 1$ debido a que la secuencia de $\mathbf x+\mathbf y$ comienza con $1$ y contiene arbitrariamente pequeño términos, con lo que el supremum parte de la norma, al menos,$1$. Por otro lado, $\|\mathbf x+\mathbf y^{**}\|=1/2$.

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Si la afirmación es falsa ¿cuáles son los supuestos adicionales?

Puedo probarlo sólo en el caso de $F$ es una isométrica sumando de a $E$ $E=F\oplus_p G$ algunos $p\in [1,\infty]$ y algunos subespacio $G$$E$. Por supuesto, este caso es bastante trivial.

De hecho, $E^{**} = F^{**} \oplus_p G^{**}$, y el subespacio $F^{\perp\perp}\subset E^{**}$ es, naturalmente, identificado con el sumando $F^{**}$. Dado $x$ como en la pregunta, escribe como $x_1+x_2$ con $x_1\in F$, $x_2\in G$. Tenga en cuenta que $$ \|x+y^{**}\| = (\|x_1+y^{**}\|^p + \|x_2\|^p )^{1/p} $$ La aplicación de Goldstine del teorema de a $x_1+y^{**}\in F^{**}$ obtenemos un neto $y_\alpha $ $F$ tal que $\|x_1+y_\alpha\|\le \|x_1+y^{**}\|$ $y_\alpha \to y$ en débil* topología. Entonces $$ \|x+y_\alpha\| = (\|x_1+y_\alpha\|^p + \|x_2\|^p )^{1/p} \le \|x+y^{**}\| $$ como se requiere. $\Box$

Al principio pensé que $F$ $1$- complementa en $E$ sería suficiente para la conclusión, pero no estoy seguro acerca de eso.