En primer lugar, creo que no has preguntado lo que querías preguntar. Responderé a lo que realmente has preguntado y luego comentaré lo que creo que querías preguntar.
Es cierto que si $\lim\limits_{x\to a}f(x) = k\in\mathbb{R}$ y $g$ es continua en $k$ entonces $$\lim_{x\to a}\;g(f(x)) = g\left(\lim_{x\to a}f(x)\right) = g(k);$$ y esto también es válido si $a$ se sustituye por $\infty$ o $-\infty$ .
La cosa se complica un poco si el límite de $f$ es $\infty$ o $-\infty$ Por un lado, ya no tiene sentido escribir $g(\lim\limits_{x\to a}f(x))$ Así que, en su lugar, debemos hablar de $\lim\limits_{t\to\infty}g(t)$ . Pero incluso con esa corrección, no tenemos un criterio fácil para saber cuándo tiene sentido "enchufar"; he aquí dos propuestas y un ejemplo en esa línea.
Propuesta 1. Si $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \infty$ y $\lim\limits_{t\to\infty}g(t) = k\in\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ entonces $\lim\limits_{x\to a}\;g(f(x))=k$ .
Prueba. Supongamos que $\lim\limits_{t\to\infty}g(t) = k$ . Primero, toma $k\in\mathbb{R}$ . Demostramos que $\lim\limits_{x\to a}\;g(f(x)) = k$ . Sea $\epsilon\gt 0$ . Entonces existe $M\gt 0$ de manera que si $t\gt M$ entonces $|g(t)-k|\lt \epsilon$ . Desde $\lim\limits_{x\to a}f(x) = \infty$ existe $\delta\gt 0$ de manera que si $0\lt |x-a|\lt \delta$ entonces $f(x)\gt M$ . Por lo tanto, si $0\lt |x-a|\lt \delta$ entonces $f(x)\gt M$ Por lo tanto $|g(f(x))-k|\lt\epsilon$ . Por lo tanto, $\lim\limits_{x\to a}\;g(f(x)) = k$ como se ha reclamado.
Consideremos ahora el caso $k=\infty$ . Sea $N\gt 0$ entonces existe $M\gt 0$ de manera que si $t\gt M$ entonces $g(t)\gt N$ . Desde $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ existe $\delta\gt 0$ de manera que si $0\lt |x-a|\lt \delta$ entonces $f(x)\gt M$ Por lo tanto $g(f(x))\gt N$ siempre que $0\lt |x-a|\lt \delta$ , lo que demuestra que $\lim\limits_{x\to a}\;g(f(x))=\infty$ . El mismo argumento es válido si $k=-\infty$ . QED
El resultado también es válido si $a$ se sustituye por $\infty$ o $-\infty$ .
Lo contrario no funciona en general:
Ejemplo: Funciones $f$ y $g$ con $g$ continua en todas partes (de hecho, uniformemente continua), $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ , $\lim\limits_{x\to a} \;g(f(x))$ existe, y $\lim\limits_{t\to\infty}g(t)$ no existe.
Dejemos que $f(x) = \lfloor x\rfloor\pi$ , $g(t)=\sin(t)$ , $a=\infty$ . Entonces $\lim\limits_{x\to \infty}\;g(f(x))=0$ pero $\lim\limits_{t\to\infty}g(t)$ no existe, ni es igual a $\infty$ o $-\infty$ . No es difícil encontrar ejemplos similares con $a\in\mathbb{R}$ . QED
Por otro lado, con un poco más de información, tenemos:
Propuesta 2. Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones, y asuma que:
- $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ y
- Por cada $\delta\gt 0$ existe $M_{\delta}\gt 0$ tal que $(M_{\delta},\infty)\subseteq f\Bigl( (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)\Bigr)$ .
Si $\lim\limits_{x\to a}\;g(f(x))=k\in\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ entonces $\lim\limits_{t\to\infty}g(t) = k$ .
Prueba. Hacemos el caso $k\in\mathbb{R}$ los otros dos casos son similares. Sea $\epsilon\gt 0$ . Entonces existe $\delta\gt 0$ de manera que si $0\lt|x-a|\lt \delta$ entonces $|g(f(x))-k|\lt\epsilon$ .
Por (2), existe $M_{\delta}$ tal si $t\gt M_{\delta}$ entonces existe $x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)$ con $f(x)=t$ .
Por lo tanto, si $t\gt M$ entonces existe $x$ , $0\lt |x-a|\lt \delta$ tal que $g(t) = g(f(x))$ Por lo tanto $|g(t)-k| = |g(f(x))-k|\lt \epsilon$ con la última desigualdad por elección de $\delta$ . Por lo tanto, $\lim\limits_{t\to\infty}g(t)=k$ como se ha reclamado. QED
Los resultados son similares si sustituimos $a$ con $\infty$ o $-\infty$ .
Corolario. Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones con $\lim\limits_{x\to a}f(x) =\infty$ y $\lim\limits_{x\to a}\;g(f(x))=k\in\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ . Si $f$ es continua en una vecindad puntuada abierta de $a$ entonces $\lim\limits_{t\to\infty}\;g(t)=k$ .
Prueba. Si $f$ es continua en una vecindad puntuada abierta de $a$ entonces la condición de que $f(x)\to\infty$ como $x\to a$ garantiza que $f$ satisface la condición 2 de la Proposición 2. QED
De hecho, basta con que $f$ sea continua en un intervalo de la forma $(a-\delta_f,a)$ , o en un intervalo de la forma $(a,a+\delta_f)$ .
La continuidad puede incluso debilitarse aún más:
Corolario. Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones con $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ y $\lim\limits_{x\to a}\;g(f(x))=k\in\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ . Si existe $\delta_f\gt 0$ tal que $f$ tiene la propiedad de valor intermedio en cualquiera de los dos $(a-\delta_f,a)$ o en $(a,a+\delta_f)$ entonces $\lim\limits_{t\to \infty} g(t) = k$ .
Prueba. Supongamos que $f$ tiene la propiedad de valor intermedio en $(a-\delta_f,a)$ el otro caso es similar. Demostramos que $f$ satisface la condición (2) de la Proposición 2.
Dejemos que $\delta\gt 0$ podemos suponer que $\delta\leq\delta_f$ .
Dejemos que $M=f(a-\frac{\delta}{2})$ ; deja que $z\gt M$ . Desde $\lim\limits_{x\to a}\;f(x)=\infty$ existe $x_1$ , $a-\frac{\delta}{2}\lt x_1 \lt a$ tal que $f(x_1)\gt z$ . Desde $f$ tiene la propiedad de valor intermedio en $(a-\delta,a)$ y $f(a-\frac{\delta}{2})\lt z\lt f(x_1)$ podemos encontrar $x_2\in (a-\frac{\delta}{2},x_1)$ tal que $f(x_2)= z$ Así que.., $z\in f(a-\delta,a)$ . Esto demuestra que para todos los $z\gt M$ , $z\in f(a-\delta,a)$ Por lo tanto $(M,\infty)$ está contenida en la imagen y la condición (2) de la Proposición 2 se cumple; la conclusión del corolario se deduce ahora de la Proposición 2. QED
Tenga en cuenta que en mi ejemplo anterior, $f$ no tiene la propiedad de valor intermedio, que es lo que da problemas.
Dicho esto: el real El problema con su ejemplo radica en la forma indeterminada $\infty-\infty$ más que un problema de "enchufe", creo.
En cambio, lo que se trata aquí es un intento de aplicar la leyes límite que dicen, por ejemplo, que el límite de una diferencia es la diferencia de los límites:
Si $\lim\limits_{x\to a}f(x) = L$ y $\lim\limits_{x\to a}g(x)=M$ entonces $\lim\limits_{x\to a}\Bigl(f(x)-g(x)\Bigr) = L-M$ .
Si intentamos extender esto (y los resultados relacionados sobre sumas, productos y cocientes) a los casos en los que los límites son iguales a $\infty$ o $-\infty$ Entonces tienes que lidiar con el reales extendidos , $\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$ . El problema aquí es que no todas las operaciones entre los reales extendidos son bien definido . Algunas operaciones están bien definidas y las leyes de los límites funcionan para ellas:
- $\infty+a = \infty$ para todos los números reales $a$ ;
- $-\infty+a = -\infty$ para todos los números reales $a$ ;
- $\pm\infty\times a =\pm\infty$ si $a\gt 0$ o $a=\infty$ ;
- $\pm\infty\times a = \mp\infty$ si $a\lt 0$ o $a=-\infty$ ;
- $\frac{\pm\infty}{a} = \pm\infty$ si $a\gt 0$ ;
- $\frac{\pm\infty}{a} = \mp\infty$ si $a\lt 0$ ;
- $\frac{a}{\pm\infty} = 0$ .
Pero otras expresiones son formas indeterminadas Las leyes límite no se aplican a ellos. No se aplican a expresiones como $\infty-\infty$ o $\frac{\infty}{\infty}$ (al igual que no se aplican en los números reales a expresiones como $\frac{a}{0}$ ).
Así que el problema no es de "enchufismo", sino que el error que mencionas radica en tratar de aplicar las leyes límite y olvidar que $\infty-\infty$ es un forma indeterminada y no una operación que se pueda realizar.
