Cuáles son mis posibilidades de ganar este juego de cartas

Question

Yo barajar un mazo estándar y supongo que voy a recoger un as en mi primer sorteo. Si es de hecho un as, puedo ganar el juego de inmediato y detener. Si no es un as, voy a reclamar que la siguiente carta de la baraja (ahora sólo 51 cartas restantes) es un 2. Si es un 2, puedo ganar el juego y parada. Si no, voy a ir: voy a ir a pesar de todos los rangos de esta manera y si supongo que el 13 de tarjeta de dibujado de forma incorrecta (es decir, no se trataba de un Rey), a continuación, voy a perder el juego.

He simulado este juego y tengo una probabilidad de ganar de alrededor de .65, pero ahora quiero resolver matemáticamente. Creo que la manera exacta en que es demasiado complicado (la probabilidad de que yo obtenga la quinta tarjeta dependerá de cómo muchos de los que ya han sido elaborados de antemano). Por lo tanto, estoy satisfecho con la manera aproximada a resolver.

Answer 1

Llame a su juego de $1$. Juego de $2$ es casi el mismo, salvo que seguimos para el total $13$ rondas, y ganamos el Juego de $2$ si tenemos uno o más de partido. La probabilidad de ganar el Juego de $2$ es la misma que la probabilidad de ganar el Juego de $1$. Para responder a su pregunta, es suficiente para encontrar la probabilidad de ganar el Juego de $2$.

La probabilidad de una coincidencia en la posición $i$$\frac{4}{52}$. Ahora suma de todos los $i$$1$$13$. Llegamos $\binom{13}{1}\frac{4}{52}$. Esto es $1$, y es el esperado (media) número de partidos en Juego $2$. Pero, por supuesto, no es la probabilidad de ganar el Juego de $2$.

El problema es que nos han contado dos veces cada situación en la que tenemos un partido en $i$ y también un partido en $j$. Para mayor claridad de pensamiento, aunque en realidad no importa, suponga que $i\lt j$. La probabilidad de un partido en $i$$\frac{4}{52}$. Dado que tenemos un partido en $i$, la probabilidad de un partido en $j$$\frac{4}{51}$. Por lo que la probabilidad de un partido en $i$$j$$\frac{4}{52}\cdot \frac{4}{51}$. Hay $\binom{13}{2}$ formas de recoger $i$$j$. Así que a partir de $\binom{13}{1} \frac{4}{52}$ le reste $\binom{13}{2}\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}$.

Pero hemos restado demasiado!!! Para los que hemos restado uno muchas veces todas las situaciones en las que hemos tenido tres partidos. Deje $i\lt j\lt k$. La probabilidad de los partidos en $i$, $j$, y $k$$\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot \frac{4}{50}$. Hay $\binom{13}{3}$ maneras de elegir el triple $(i,j,k)$. Así que vamos a añadir de nuevo $\binom{13}{3} \frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot \frac{4}{50}$.

Pero se le han añadido demasiado, porque hemos añadido la espalda demasiado muchas veces las situaciones en las que tenemos $4$ partidos. Así que debemos restar $\binom{13}{4}\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot \frac{4}{50}\cdot\frac{4}{49}$.

De continuar. Estamos utilizando el Método de Inclusión/Exclusión.

Para el trabajo práctico, que probablemente podría detener. Ya el término $\binom{13}{4}\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot \frac{4}{50}\cdot\frac{4}{49}$ es bastante pequeña. Pero no es difícil de seguir hasta el final y obtener una respuesta exacta.

Nota: la simulación le dio una respuesta bastante cerca de la verdad. Los términos que he mencionado en el post dar aproximadamente el $0.639$, y el siguiente término en la Inclusión/Exclusión es un "add" plazo.

Answer 2

p(ganar)=1-p(perder). Usted pierde si no obtiene un 1 en el primer sorteo y no 2 en la segunda, etc. la probabilidad de no obtener un 1 en la primera tarjeta es 48/52=12/13. Entonces la probabilidad de no obtener un 2 en el segundo sorteo es 47/51 si 2 no fue elegido en el primer sorteo y 48/51 si una de las 2 se dibuja en la primera. Por lo que la probabilidad de no ganar en el primer o segundo sorteo es (48/52)(1-4/52)(47/51)+(48/52)(1-48/52)(48/51). Continuamos de esta manera, suponiendo un 3 no se dibuja en el tercer sorteo teniendo en cuenta si hay 3, uno de los 3 o dos 3 se dibuja en los primeros 2 empates. A continuación, se vuelve más complicado teniendo en cuenta cómo muchas veces 4s fueron dibujados en los 3 primeros sorteos etc.

Answer 3

Este problema se resuelve mediante la inclusión-exclusión en la Sección 7.8 de Los problemas y las instantáneas desde el mundo de la probabilidad por Blom, Holst, y Sandell.

Supongamos que ha $s$ cubiertas de cada uno de los números de$1$$n$, y se selecciona aleatoriamente $n$ tarjetas de una en una (sin reemplazo) desde el fondo barajan super-cubierta de $ns$ tarjetas. Podemos decir que el $i$th tarjeta le da un "match" si el $i$th tarjeta tiene el número de $i$.

Para $k\geq 0$, la probabilidad de que exactamente $k$ partidos es $$p(k)={n\choose k}\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\, {s^i\over i!}\,{{n-k\choose i-k}\over{ns\choose i}}.$$

Poner $n=13$, $s=4$ y $k=0$, podemos calcular la probabilidad de que usted gana $$1-p(0)=\sum_{i=1}^{13}(-1)^{i+1}\, {4^i\over i!}\,{{13\choose i}\over {52\choose i}}=.6430649.$$