En la definición de la distancia de Hausdorff

Question

$\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}\,}$ % Que $M$ser un espacio métrico y $\emptyset\neq A,B\subset M$ limitado de subconjuntos cerrados. La distancia de Hausdorff se define como $$h(A,B)=\max\{\dist(A,B),\dist(B,A)\},$$ where $% $ $\dist(A,B)=\sup_{x\in A}\inf_{y\in B}d(x,y).$

¿Por qué definimos $\dist(A,B)$ de esta manera? Es posible sustituir el supremum por infimum en la definición de $\dist\!$, es decir, definir %#% $ #%

Cuál es el impacto de esta definición 'nuevo' en la 'distancia de Hausdorff' de $$\dist_{\mathrm{new}}(A,B)=\inf_{x\in A}\inf_{y\in B}d(x,y).$ $

Answer 1

Aquí está mi intuición sobre cómo se podría haber inventado la distancia de Hausdorff. Esperemos que esto ayude.

Quieres una métrica que indica hasta qué punto dos compacto conjuntos de ser el mismo. Y puesto que estos conjuntos de pasar a ser subconjuntos de un espacio métrico, usted debe definir la métrica en términos de las distancias entre los puntos de $A$$B$.

Supongamos $A\ne B$. Luego hay un punto en $A$ que no está en $B$, o hay un punto en $B$ que no está en $A$ (o ambos).

Digamos que hay un $a\in A$$a\not\in B$. ¿Hasta qué punto es $a$ de $B$? Bueno, al menos tienes que mover $a$ para $B$ es la distancia al punto más cercano en $B$,$\inf_{b\in B} d(a,b)$. Así que esa es la distancia de$a$$B$, lo que bien podríamos llamar a $d(a,B)$. Observar que si $a\in B$$d(a,B)=0$, y debido a $B$ es compacto, si $a\not\in B$$d(a,B)>0$.

Ahora hay un montón de puntos de $a\in A$, algunos de los cuales pueden ser en $B$, y algunos no. Mientras exista cualquier $a\not\in B$, es decir, $a$ tal que $d(a,B)>0$, queremos saber acerca de ella. Entonces, deberíamos tomar el supremum: $d_1(A,B)=\sup_{a\in A}d(a,B)$. Esto también significa que cada punto en $A$ es en la mayoría de las $d_1(A,B)$$B$.

Finalmente, $d_1(A,B)$ sólo nos dice si hay un punto en $A$ que está lejos de $B$. Queremos que la distancia de Hausdorff $d_H(A,B)$ a ser grande si bien hay un punto en $A$ lejos de $B$, o hay un punto en $B$ lejos de $A$. Entonces definimos que es el máximo de ambos $d_1(A,B)$$d_1(B,A)$. Y hemos terminado.

Answer 2

La intuición detrás de la distancia de Hausdorff es la medida de "lo similar" dos conjuntos están en la métrica de sentido. Si dos conjuntos son en pequeña distancia de Hausdorff, que se supone que son para "mirar" casi de la misma.

Por ejemplo, si $A$ fue arbitraria en el conjunto compacto en el avión y $B$ fue su contables subconjunto denso, entonces el La distancia de Hausdorff entre ellos sería cero, que es lo esperado, ya que su "look" bastante mucho la misma, si no mirar demasiado de cerca. Es posible que desee echar un vistazo a la foto en el artículo de la Wikipedia, he encontrado que es muy útil para intuitivamente ver cómo la distancia obras.

Además, si tomamos un localmente compacto espacio métrico $X$, la distancia de Hausdorff convierte el conjunto $\mathcal K(X)$ de los no vacía de subconjuntos compactos de $X$ a un buen comportamiento de espacio métrico (en el cual se $X$ natural isométricamente incrusta). Su definición no podía hacer tal cosa, ya que no iba mucho a todos los axiomas de la métrica, excepto nonnegativity y la simetría.

Eso no quiere decir que lo definido no tiene sentido (aunque, como se sugiere por t.b., el symmetrisation es innecesaria, ya que $\inf_{x\in A}\inf_{y\in B}d(x,y)=\inf_{(x,y)\in A\times B} d(x,y)=\inf_{y\in B}\inf_{x\in A}d(x,y)$). Se mide la "cercanía" de los conjuntos de uno a otro. Es sólo que no es lo que la distancia de Hausdorff.