Que $\mathcal{F} \subset C[0,1]$ ¿existe una secuencia converge pointwise al supremum?

Question

Esta pregunta es la siguiente este.

Tomar un subconjunto $\mathcal{F} \subset C[0,1]$ y considerar $$g(x)= \sup{ \{f(x)\mid f\in \mathcal{F}} \}.$$ Added: $g$ puede tomar infinitos valores.

¿Qué propiedad de la(s) debe tener $\mathcal{F}$ a fin de que existe una secuencia $(f_n)$ de los elementos de $\mathcal{F}$ que converge pointwise a $g$?

Sé que la pregunta es abierta. Las respuestas pueden ser en forma de ejemplos. Por favor, no disparar rápido para cerrar porque es una cuestión abierta!

Answer 1

Como los comentarios que insinúan, es suficiente para asumir que $\mathcal{F}$ es superior dirigida, es decir, para $f,g \in \mathcal{F}$, debe haber algún tipo de $h \in \mathcal{F}$$h \geq \max \{f, g\}$.

De hecho, es bien sabido que el $C([0,1])$ es separable cuando está equipado con el sup-norma. Por lo tanto, también lo es cualquier subconjunto, en particular lo es $\mathcal{F}$. Por lo tanto, vamos a $\{g_n \mid n \in \Bbb{N}\} \subset \mathcal{F}$ ser denso con respecto a la sup-norma.

El uso de la direccionalidad de la $\mathcal{F}$, nos encontramos (inductivamente) para cada una de las $n \in \Bbb{N}$$h_n \in \mathcal{F}$$h_n \geq \max \{h_{n-1}, g_1, \dots, g_n\}$. En particular, $(h_n)_n$ es un no-disminución de la secuencia, de modo que $h := \lim_n h_n$ existe. Desde $h_n \in \mathcal{F}$, trivialmente ha $h_n \leq g$ todos los $n$ e lo $h \leq g$.

Por lo tanto es suficiente para mostrar $g \leq h$, para lo cual es suficiente para mostrar $f \leq h$ por cada $f \in \mathcal{F}$. Pero por construcción, no ha $g_n \leq h$ por cada $n$. Desde $\{g_n \mid n \in \Bbb{N}\} \subset \mathcal{F}$ es densa, podemos llegar fácilmente a $f \leq h$ por cada $f \in \mathcal{F}$ como se desee.

Así, en el final (suponiendo que direccionalidad) todo se reducía a una separación de la declaración.