Cálculo de puntos equidistantes alrededor de un arco de elipse

Question

Como una extensión a esta pregunta sobre distorsión fisheye equiangular, ¿cómo puedo calcular puntos equidistantes alrededor de una elipse (o segmento 1/4 de) dada la relación de aspecto?

Cuando es circular, puedo usar un ángulo simple alrededor del punto central, pero la relación de aspecto más pequeño, la longitud del arco es más corta y los ángulos no son equidistantes.

Gracias.

Answer 1

Supongo que por "equidistante" te refieres a que la longitud de arco a lo largo de la elipse entre dos puntos adyacentes es el mismo, no la distancia Euclidiana entre los puntos en el plano.

Circunferencia completa

Calcular la circunferencia de una elipse puede ser formulado mediante la integral elíptica completa de la segunda clase. Más precisamente, la circunferencia es

$$c=4a\,E(m)\qquad m=1-b^2/a^2$$

al menos si te formulación de la integral elíptica en términos del parámetro de $m=1-b^2/a^2$. Si en lugar de definir en términos de la elíptica en el módulo de $k=\sqrt m$, luego de conectar de que en la fórmula. Así que ahora que usted sabe el total de la circunferencia, y se puede dividir que por algún entero $n$ dependiendo de la cantidad de puntos que desee a lo largo del perímetro. Luego múltiplos de la longitud de rendimiento de puntos equidistantes.

Punto en determinada longitud de arco

Lo siguiente que necesita para girar a la longitud de arco en la posición en la elipse. Esto significa que usted tendrá que calcular la inversa de la incompleta integral elíptica de segunda especie. Así que para el $k$-ésimo punto (por $0\le k<n$) había resuelva numéricamente

$$\tfrac knc=a\,E(\varphi|m)$$

para $\varphi\in[0,2\pi)$ y luego girar a la que la amplitud de la espalda en un ángulo, o calcular la posición directamente de eso. A su vez la amplitud de un ángulo, este post sugiere el uso de la fórmula

$$\theta=\varphi+\tan^{-1}\left(\frac{(a-b)\tan(\varphi)}{b+a\tan^2(\varphi)}\right)$$

lo que no he comprobado, pero sólo ajustar la notación estoy usando aquí. Ese ángulo es relativa a los menores del eje, por lo que es posible que desee agregar a $\frac\pi4$ a que. Para calcular las coordenadas directamente de la amplitud, puede utilizar

$$x = a\sin\varphi\qquad y = b\cos\varphi$$

Las anteriores tendrán el primer punto (para $k=0$) en el positivo $y$ eje, en el extremo del eje menor. Si desea, puede compensar todas las longitudes de arco en orden a cambio de los puntos a lo largo de la elipse, por ejemplo, para el extremo del eje mayor.

Ejemplo

Aquí es un ejemplo para $a=5, b=3, n=17$:

$$\begin{array}{rccccc} k & \varphi & x & y & \theta \\\hline 0 & 0.0000000 & +0.0000000 & +3.0000000 & 0.0000000 \\ 1 & 0.3032641 & +1.4931847 & +2.8631004 & 0.4807207 \\ 2 & 0.6256782 & +2.9282358 & +2.4316983 & 0.8777733 \\ 3 & 0.9945508 & +4.1925715 & +1.6346388 & 1.1990363 \\ 4 & 1.4462325 & +4.9612598 & +0.3727257 & 1.4958100 \\ 5 & 1.9329168 & +4.6757386 & -1.0627741 & 1.7942945 \\ 6 & 2.3395668 & +3.5938304 & -2.0857560 & 2.0966579 \\ 7 & 2.6809206 & +2.2227512 & -2.6872618 & 2.4505185 \\ 8 & 2.9910709 & +0.7497699 & -2.9660789 & 2.8939978 \\ 9 & 3.2921144 & -0.7497699 & -2.9660789 & 3.3891875 \\ 10 & 3.6022648 & -2.2227512 & -2.6872618 & 3.8326668 \\ 11 & 3.9436185 & -3.5938304 & -2.0857560 & 4.1865274 \\ 12 & 4.3502685 & -4.6757386 & -1.0627741 & 4.4888908 \\ 13 & 4.8369528 & -4.9612598 & +0.3727257 & 4.7873754 \\ 14 & 5.2886345 & -4.1925715 & +1.6346388 & 5.0841490 \\ 15 & 5.6575071 & -2.9282358 & +2.4316983 & 5.4054121 \\ 16 & 5.9799212 & -1.4931847 & +2.8631004 & 5.8024646 \end{array}$$