¿Cuándo menos cuadrados regresión (LSQ) línea igual a la línea de desviación absoluta menos (CHAVAL)?

Question

Tengo la siguiente pregunta en la mano.

¿Supongamos que $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_{10},y_{10})$ representa un conjunto de observaciones bi-variante aleatoria $(X,Y)$ tal que $x_2=x_3=\cdots =x_{10}\ne x_1.$ bajo qué condiciones serán la recta de regresión de cuadrados menos de $Y$ $X$ ser idénticos a la línea de desviación absoluta por lo menos?

Sé que dice queremos encontrar $\hat{\alpha}$ y $\hat\beta$ tal que $Y=\hat\alpha+\hat\beta X$; el método LSQ dará $$\hat\beta={\sum\limits_{i=1}^{10} (x_i-\bar x)y_i\over \sum\limits_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)x_i}$$ and hence $ \hat\alpha$. ¿Alguien me puede ayudar proceder?

Answer 1

Algunos consejos para ayudarle a ganar un poco de perspectiva

1. Hacer o generar algunos datos coherente con las condiciones de la pregunta. Intente $x_1=0, y_1=0$ $x_2..x_{10}=1$ (la elección de algunos valores para $y_i$, $i=2,...,10$). ¿Dónde pasan las líneas en relación con el primer punto?

2. Ahora comienzo a las anteriores, pero trate de colocar $y_i$, $i=2,...,10$ a decir 1,2,3,4,5,6,7,8,9, respectivamente. Donde se hacen las líneas?

   

3. Ahora lugar $y_i$, $i=2,...,10$ a decir 1,2,3,4,5,6,7,8,99 respectivamente. Donde se hacen las líneas?

   

   ¿Qué tiene de especial, interesante, acerca de los valores ajustados para las dos líneas en $x=1$?

   (Si no está claro probar con otros valores de $y_{10}$.)

   

4. Se puede demostrar que este es el caso más general?