¿Siempre levante endomorphisms de cocientes?

Question

Deje $H \to G$ ser un inyectiva homomorphism de Abelian grupos y deje $\varphi$ ser un endomorfismo de $H$. Debe $\varphi$ ampliar a un endomorfismo de $G$? La respuesta es no; un contraejemplo es el endomorfismo del subgrupo $2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$$(2,0) \to (0,1)$$(0,1) \to (0,0)$.

Estoy interesado en la doble pregunta. Deje $G \to H$ ser un surjective homomorphism de Abelian grupos y deje $\varphi$ ser un endomorfismo de $H$. Debe $\varphi$ levantar a un endomorfismo de $G$?

Tengo la fuerte sospecha de que la respuesta sea no, pero no he sido capaz de encontrar un contraejemplo. Fácil contraejemplo, como el anterior sería lo ideal, aunque sería bueno. Tenga en cuenta que si el mapa $G \to H$ se divide, a continuación, $\varphi$ debe ser inducida por un endomorfismo de $G$ (y de manera similar en los dos casos). Las dos preguntas tienen sentido para los otros objetos también, y de modo que si no hay nada interesante que decir sobre este asunto en términos categóricos, entonces yo sería feliz de escuchar.

Answer 1

Considerar el nivel surjection $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Más específicamente, tenemos $$G=\langle x , y : x^4 = y^2 =1 , yx=xy\rangle \quad\text{and}\quad H=\langle \bar x, \bar y : \bar x^2 = \bar y^2 = 1, \bar y \bar x = \bar x \bar y \rangle$$

Los elementos de $G$ que tienen orden de 4 $\{ x, xy, x^3, x^3y \}$, los elementos de orden 2 se $\{ y, x^2, x^2 y \}$, y el elemento de orden 1 es simplemente llamado $1$. Los elementos de $H$ sólo $\{ \bar x, \bar y, \bar x \bar y \}$ a de orden 2, y $\bar 1$ de orden 1.

Un endomorfismo de $G$ no se puede tomar a $y$ (de orden 2) a cualquier elemento de orden 4. Pero la imagen en $H$ de los elementos de $G$ el fin de dividir 2 sólo es $\{ \bar 1 = \bar x^2, \bar y = \bar x^2 \bar y \}$. Por lo tanto, un endomorfismo de $H$ que es inducida por un endomorfismo de $G$ sólo puede llevarse a $\bar y$ $\bar y$o $\bar 1$.

El endomorphisms de $H$ son más fácilmente representado por $2\times 2$ matrices de más de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Hay 16 tal endomorphisms, pero sólo 8 de ellas envían $\bar y$ $\bar y$o $\bar 1$. Los otros 8 enviar $\bar y$ $\bar x$o $\bar x \bar y$. Ninguno de estos últimos 8 levante como se muestra en el párrafo anterior. Todos los primeros 8 hacer ascensor, aunque esto no importa mucho.

En particular, el 8 de la endomorphisms de $H$ ascensor (4 formas de cada uno), y 8 no levante.