¿El submódulo de un módulo libre sobre un p.i.d. es libre incluso cuando el módulo no está finitamente generado?

Question

He oído que cualquier submódulo de un módulo libre sobre un p.i.d. es libre.

Puedo demostrarlo para módulos generados finitamente sobre un p.i.d. Pero la demostración implica inducción sobre el número de generadores, por lo que no se aplica a módulos que no estén generados finitamente.

¿Sigue siendo válido el resultado? ¿Cuál es el argumento?

Answer 1

Sea $F$ ser libre $R$ -módulo, donde $R$ es un PID, y $U$ sea un submódulo. Entonces $U$ también es libre (y el rango es como máximo el rango de $F$ ). He aquí una pista para la prueba.

Sea $\{e_i\}_{i \in I}$ sea una base de $F$ . Elija un buen orden $\leq$ en $I$ (esto requiere el axioma de elección). Sea $p_i : F \to R$ sea la proyección sobre $i$ ª coordenada. Sea $F_i$ sea el submódulo de $F$ generado por el $e_j$ con $j \leq i$ . Sea $U_i = U \cap F_i$ . Entonces $p_i(U_i)$ es un submódulo de $R$ es decir, tiene la forma $R a_i$ . Elija algunos $u_i \in U_i$ con $p_i(u_i)=a_i$ . Si $a_i=0$ también podemos elegir $u_i=0$ .

Ahora demuestre que el $u_i \neq 0$ constituyen una base de $U$ . Pista: Inducción transfinita.

La misma prueba muestra el resultado más general: Si $R$ es un hereditario (todo ideal de $R$ es proyectivo sobre $R$ ), entonces cualquier submódulo de una libre $R$ -es una suma directa de ideales de $R$ .