Integrando con respecto a diferentes variables

Question

He comenzado a leer un libro de ecuaciones diferenciales y dice algo como:

$$\frac{dx}{x} = k \, dt$$

Integrando ambos lados da

$$\log x = kt + c$$

¿Cómo es que puedo 'integrar ambos lados aquí' cuando estoy integrando a un lado con respecto a los $x$ todavía estoy integrando al otro lado con respecto a los $t$?

Answer 1

Lo que está pasando es lo que se llama un abuso de notación. Lo que de verdad hay una ecuación en $t$. $x=x(t)$ es una función dependiente de la $t$. Así que lo que estamos haciendo es la siguiente - supongo que esta es la ecuación original:

$$\frac{dx}{dt}=k x $$

Este es el mismo como

$$x'(t)=k x(t) $$

$$\frac{x'(t)}{x(t)}=k $$

Ahora integramos wrt a $t$

$$\int\frac{x'(t)}{x(t)}dt=kt+C $$

Pero dejando $X=x(t)$ $dX = x'(t) dt$ da

$$\int\frac{dX}{X}=kt+C $$

$$\log X = kt+C$$

Para cambiar de nuevo

$$\log x(t) = kt+C$$

$$x(t)=C e^{kt}$$

Lo que realmente hace, en cierto sentido, es integrar con respecto a "sólo" $t$ en un lado, y "$x(t)$" en el otro (que se realiza de forma implícita). La notación es muy útil y sugerente, así que lo uso, la comprensión de lo que estamos haciendo es el de arriba.

Answer 2

Buen punto! Tenemos $\frac{dx}{dt}=kx$. Por lo tanto $x$ es una función de $t$. Cruzando los dedos sobre la posible división por $0$, tenemos $$\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=k.\tag{$1$}$$ Ahora vamos a $F(x)$ ser cualquier antiderivada de $\frac{1}{x}$ con respecto al $x$. Luego, por la Regla de la Cadena, el lado izquierdo de $(1)$ es el derivado de la $F(x)$ con respecto al $t$. Así tenemos $$\frac{d}{dt}(F(x))=k,$$ y, por tanto, $F(x)=kt+C.$ En nuestro caso, $\log(|x|)$ es una antiderivada de $\frac{1}{x}$ con respecto al $x$, y obtenemos la solución general de la ED.

Tenga en cuenta que el misterioso proceso en el que nos separamos $\frac{dx}{dt}$, que es no una relación, en $2$ partes, "$dx$" y "$dt$," nos da exactamente la misma respuesta final. Podemos pensar en ella como una manipulación simbólica que nos llega a la respuesta correcta.

Observaciones: $1.$ tenga en cuenta que $x=0$ es una solución de la de. Si utilizamos $\log(|x|)=kt+C$,$x=\pm e^C e^{kt}$, e $e^C$ nunca puede ser $0$. Sin embargo, es tradicional para reemplazar la constante $\pm e^C$ por una nueva constante $D$, con lo que conseguimos $x=De^{kt}$. El caso de $D=0$ cubre la solución de $x=0$ que habíamos perdido por división. Un buen caso de dos errores de la cancelación.

$2.$ A (mucho) más adelante, la "diferenciales" que hemos utilizado se puede dar un significado preciso.

Answer 3

Dejando $y= \log x$, tenemos $$ \frac{dy}{dx} = \frac 1 x. $$ Si consideramos a $dy$ $dx$ correspondiente infinitamente pequeños incrementos de $y$$x$, y se multiplican ambos lados por $dx$, nos encontramos con que el infinitamente pequeño incremento de $y$ es $$ dy = \frac{dx}{x}. $$ Si $y=kt+c$, e incrementamos $y$ $t$ por infinitamente pequeñas cantidades, mientras que dejar que $k$ $c$ permanecen constantes, obtenemos $$ dy = k\,dt. $$ Así $$ \frac{dx}{x} = k\,dt,\text{ y }\log x = kt+c. $$

De un lado está integrado con respecto a $x$ y el otro con respecto a $t$ porque $dx$ aparece como un factor (es decir, como algo que se multiplica por) en un lado y $dt$ sobre el otro.

Si alguien encuentra deficiencias en la medida en que esto ha sido lógicamente rigurosa en la literatura existente, creo que debe ser interpretado como un reto para seguir trabajando sobre la lógica y de las convenciones, de manera que el anterior será totalmente lógica rigurosa. Lo que aparece arriba no debe ser visto simplemente como un abuso de notación. Es un abuso de notación sólo en el contexto de ciertas convenciones, que puede representar el estado de la ciencia en algún punto determinado de la historia. El estado actual de la ciencia no es nunca la última palabra.