Es bastante sencillo llegar a una matriz triangular con el mismo determinante:
- Después de las siguientes operaciones elementales de fila: $$R_1\to R_1-R_2\\ R_2\to R_2-R_3\\ R_3\to R_3-R_4\\ R_4\to R_4-R_5$$ tenemos:
$$\begin{vmatrix} 2&1&1&1&1 \\ 1&2&1&1&1 \\ 1&1&2&1&1 \\ 1&1&1&2&1 \\ 1&1&1&1&-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&-1&0&0&0 \\ 0&1&-1&0&0 \\ 0&0&1&-1&0 \\ 0&0&0&1&3 \\ 1&1&1&1&-2 \end{vmatrix} $$
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Usando el hecho de que $\det(A)=\det(A^T)$: $$ \begin{vmatrix} 1&-1&0&0&0 \\ 0&1&-1&0&0 \\ 0&0&1&-1&0 \\ 0&0&0&1&3 \\ 1&1&1&1&-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ -1&1&0&0&1 \\ 0&-1&1&0&1 \\ 0&0&-1&1&1 \\ 0&0&0&3&-2 \end{vmatrix} $$
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Luego logramos una matriz triangular superior con las siguientes operaciones: $$ R_2\to R_2+R_1\\ R_3\to R_3+R_2\\ R_4\to R_4+R_3\\ R_5\to R_5-3R_4\\ \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ -1&1&0&0&1 \\ 0&-1&1&0&1 \\ 0&0&-1&1&1 \\ 0&0&0&3&-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-14 \end{vmatrix} $$
Y ahora, dado que estamos alrededor de la transformada de Laplace, utilizaremos los siguientes 4 hechos:
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Si las matrices $A$, $B$ y $C$ difieren solo por una columna, digamos $\mathbf c_A$, $\mathbf c_B$ y $\mathbf c_C$, tal que $\mathbf c_C=\mathbf c_A+\mathbf c_B$, entonces $\det(C)=\det(A)+\det(B)$.
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El determinante de una matriz $B$ que se obtiene al multiplicar una sola fila en la matriz $A$ por un escalar $k$ es igual a $k\det(A)$.
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Dado que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de esas matrices y $I=I^2$, tenemos $\det(I)=\det(I^2)=\det^2(I)\Rightarrow1=\det(I)$.
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El determinante de una matriz singular es $0$.
$$\begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-14 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-13 \end{vmatrix} $$ $$= -\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-12 \end{vmatrix} $$ $$ =-1 -\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0
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Una calculadora es ciertamente otra forma...
:P
Pero trataré de pensar en una que realmente estés buscando. :)