Determinante de una matriz simétrica

Question

Dada la siguiente matriz, ¿hay alguna forma de calcular el determinante que no sea usando cofactores hasta llegar a determinantes de $3\times3$?

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 &1 &1&1 \\ 1 & 2 & 1& 1 &1\\ 1& 1 & 2 & 1 &1\\ 1&1 &1 &2&1\\ 1&1&1&1&-2 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Puedes restar la primera fila de todas las demás filas y obtener una matriz de la forma: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 &1 &1&1 \\ -1 & 1 & 0& 0 &0\\ -1& 0 & 1 & 0 &0\\ -1&0 &0 &1&0\\ -1&0&0&0&-3 \end{pmatrix}.$$ Calcular el determinante ahora es mucho más fácil.

Answer 2

Mira la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.$$ Tiene rango dos y sus autovalores no nulos tienen suma $1$ (la traza) y producto $$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = -16$$

Así que el polinomio característico es $t^3 (t^2 - t - 16)$. Evalúalo en $t = -1$ y obtendrás $$\det(-I - A) = (-1)^5 \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$$

Answer 3

Llama a tu matriz $A$ y deja que $J_n$ denote la matriz de unos de tamaño $n$. Mediante la expansión de Laplace a lo largo de la última fila, tenemos $$\begin{align*} \det(A) &=\left(\sum_{j=1}^\color{red}{4}(-1)^{5+j}a_{5j}M_{5j} + 2M_{55}\right) - 4M_{55}\\ &=\det(I_5+J_5)-4\det(I_4+J_4). \end{align*}$$ Como $\det(aI_n+bJ_n)=a^{n-1}(a+nb)$, obtenemos $\det(A)=6-4(5)=-14$.

Answer 4

Es bastante sencillo llegar a una matriz triangular con el mismo determinante:

1. Después de las siguientes operaciones elementales de fila: $$R_1\to R_1-R_2\\ R_2\to R_2-R_3\\ R_3\to R_3-R_4\\ R_4\to R_4-R_5$$ tenemos:

$$\begin{vmatrix} 2&1&1&1&1 \\ 1&2&1&1&1 \\ 1&1&2&1&1 \\ 1&1&1&2&1 \\ 1&1&1&1&-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&-1&0&0&0 \\ 0&1&-1&0&0 \\ 0&0&1&-1&0 \\ 0&0&0&1&3 \\ 1&1&1&1&-2 \end{vmatrix}$$

2. Usando el hecho de que $\det(A)=\det(A^T)$: $$\begin{vmatrix} 1&-1&0&0&0 \\ 0&1&-1&0&0 \\ 0&0&1&-1&0 \\ 0&0&0&1&3 \\ 1&1&1&1&-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ -1&1&0&0&1 \\ 0&-1&1&0&1 \\ 0&0&-1&1&1 \\ 0&0&0&3&-2 \end{vmatrix}$$

3. Luego logramos una matriz triangular superior con las siguientes operaciones: $$R_2\to R_2+R_1\\ R_3\to R_3+R_2\\ R_4\to R_4+R_3\\ R_5\to R_5-3R_4\\ \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ -1&1&0&0&1 \\ 0&-1&1&0&1 \\ 0&0&-1&1&1 \\ 0&0&0&3&-2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-14 \end{vmatrix}$$

Y ahora, dado que estamos alrededor de la transformada de Laplace, utilizaremos los siguientes 4 hechos:

• Si las matrices $A$, $B$ y $C$ difieren solo por una columna, digamos $\mathbf c_A$, $\mathbf c_B$ y $\mathbf c_C$, tal que $\mathbf c_C=\mathbf c_A+\mathbf c_B$, entonces $\det(C)=\det(A)+\det(B)$.

• El determinante de una matriz $B$ que se obtiene al multiplicar una sola fila en la matriz $A$ por un escalar $k$ es igual a $k\det(A)$.

• Dado que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de esas matrices y $I=I^2$, tenemos $\det(I)=\det(I^2)=\det^2(I)\Rightarrow1=\det(I)$.

• El determinante de una matriz singular es $0$.

$$\begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-14 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-13 \end{vmatrix}$$ $$= -\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&-1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1 \\ 0&1&0&0&2 \\ 0&0&1&0&3 \\ 0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&-12 \end{vmatrix}$$ $$ =-1 -\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0