Encontrar todos los pares$(\ell,k)$ de los números naturales, de manera que el número$\dfrac1{n+\ell}\dbinom{kn}{n}$ es un número entero de todos los% natural $n$.
Es$(\ell,k)=(1,2)$ la única solución?
Respuesta
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Supongamos que existe una solución de $(k,\ell)$$\ell>1$. A continuación, ajuste de $n=1$ muestra que $k$ es un múltiplo de a $\ell+1$. Supongamos $p$ es un primer dividiendo $\ell$; a continuación,$k\equiv 1\mod{p}$. Deje $n = p$: $$ \dbinom{kn}{n} = \frac{kp kp-1)\cdots(kp(p-1))}{p!} = \frac{k(pk-1)\cdots(kp(p-1))}{(p-1)!}, $$ que no es divisible por $p$ desde $k$ no lo es. Pero el denominador es $$n+\ell = p+\ell \equiv 0\mod{p}.$$ Así que la única solución ha $\ell=1$ (e $k$, incluso).
Ahora supongamos que $\dbinom{kn}{n}$ es un múltiplo de a $n+1$ para todos los números naturales $n$. Si $k>2$, elija $p\,\mid\,k-1$ $p$ impares, por lo que el $k\equiv 1\mod{p}$. A continuación, establezca $n=p-1$. Un cálculo similar a la de arriba \begin{align*} \dbinom{k(p-1)}{p-1} &= \frac{k(p-1)(k(p-1)-1)(\cdots)(k(p-1)-(p-2))}{(p-1)!} \\ &= \frac{k(p-1)(kp-k-1)\cdots(kp-k-(p-2))}{(p-1)!}. \end{align*} Pero ninguno de $$k,\ kp-k-1,\ kp-k-2, \dotsc,\ kp-k-(p-2) \equiv 1,\ -2,\ -3, \dotsc,\ -(p-1) \mod{p}$$ es divisible por $p$ desde $k\equiv 1\mod{p}$, por lo que la expresión no es divisible por $p$. Pero $n+1 = p-1+1=p$ y el cociente no es un número entero.
Así $\ell=1$, $k=2$ es la única solución.
