Álgebra Lineal, cubo y dimensiones> 3

Question

He encontrado muy interesante problema en Gilbert Strang libro, ,,Introducción al Álgebra Lineal" (3ª edición):

Cuántas esquinas de un cubo de tener en 4 dimensiones? ¿Cuántas caras? Cuántas aristas? Un típico rincón es $(0,0,1,0)$

He encontrado la respuesta para las esquinas:

Sabemos, que la esquina es $(x_1,x_2,x_3,x_4)$. Para cada $x_i$, se puede utilizar cualquiera de las $1$ o $0$. Podemos hacer esto en $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$ maneras.

El mismo método puede ser utilizado para el problema general de cubo en $n$ dimensiones (supongo):

Digamos, tenemos $n$-dimensional del cubo (supongo, que la longitud de la arista es de $1$, pero puede ser algo de $a$, donde $a \in \mathbb{R}$ [1]). Aquí, en la esquina de este cubo se parece a esto: $(x_1,x_2, \ldots , x_n)$. Para cada $x_i$ hay $2$ posibilidades: $x_i = 0$ o $x_i = 1$ ($x_i = a$ en general). Así, este cubo tiene $2^n$ esquinas.

Era muy simple, creo. Pero ahora, también hay caras y las aristas. Para ser honesto, no sé, cómo encontrar la respuesta en estos casos.

Yo sé, que la solución para este problema es:

Una de cuatro dimensiones del cubo ha $2^4 = 16$ esquinas y $2 \cdot 4 = 8$ en tres dimensiones de los lados y $24$ dos dimensiones de las caras y $32$ sobre las dimensiones de los bordes.

Podría de alguna manera me explique, cómo averiguar de esta solución? He encontrado la solución para las esquinas por mí mismo, utilizando los métodos del Álgebra Lineal y del lenguaje. Podría Usted mostrar a mí, ¿cómo encontrar el número de aristas y caras, utilizando los métodos del Álgebra Lineal?

Hay otro método para encontrar estos números? (Supongo que la respuesta a esta pregunta es positiva)

Yo también estoy interesado en artículos/libros de texto/etc. acerca de las dimensiones del espacio, si Usted sabe algunas de las posturas más interesantes acerca de que, a compartir conmigo (y la comunidad).

Como me escribió: estoy interesado en matemática explicaciones (en particular el uso de los métodos del Álgebra Lineal/idioma pero otros métodos pueden ser también muy interesante) y algunas intuiciones (cómo encontrar la solución con el uso de la imaginación, etc. [2]).

Gracias por la ayuda.

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[1] no estoy seguro de esta suposición, porque:

(a) yo no estoy segura de cómo los bordes (y caras) se comportan en $n$ dimensiones

(b) no estoy seguro, ¿cómo debo pensar acerca de la distancia en $n$ dimensiones. Quiero decir, yo sé, que mi intuición puede jugar trucos aquí

[2] no estoy preguntando, ¿cómo imaginar $4$ dimensiones del cubo, pero creo, que hay una manera de encontrar la solución, utilizando el razonamiento, no sólo de Álgebra Lineal.

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Además

Mi definición de la cara (no fue un comentario acerca de eso) es la misma que la definición aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Face_(geometría), especialmente:

En geometría, una cara de un poliedro es cualquiera de los polígonos que forman sus límites.

Answer 1

Para calcular el número de aristas: como usted dice que hay 2^n las esquinas. Cada uno está conectado a n otros rincones. La adición de todas estas cuentas de cada arista dos veces, así que hay 2^(n-1)n bordes, lo que equivale a 32 para n=4. Otra manera de contar, de bordes para definir E(n) como el número de aristas en n dimensiones. Si usted piensa de n+1 dimensiones del cubo como la conexión de las esquinas correspondientes de dos n dimensiones de los cubos, la recurrencia es E(n+1)=2E(n)+2^n

Caras cuadradas son realizadas por partida con un cuadrado en el que uno de los dos n cubos además de la traducción de los bordes de la n cubo en la nueva dimensión. De manera que S(n+1)=2S(n)+E(n).

3-cubo de caras son iniciando con un 3-cubo en uno de los dos n-cubos además de la traducción de las plazas en la nueva dimensión. Por lo tanto, C(n+1)=2 C(n)+S(n)

Answer 2

Como usted ha mencionado, un vértice (o un 0-cara) es sólo una opción de cadena de $(x_1,\ldots, x_n)$ donde $x_i\in \{0,1\}$. Si se vuelve a pensar en las dimensiones 2 o 3 (o incluso 1!), verás que un borde (es decir, un 1 cara) está determinada por dos vértices que difieren en una sola ranura. Así por ejemplo, en la unidad de la plaza, el borde izquierdo va entre el $(0,0)$ $(0,1)$ -- nos pueden decir el nombre de este borde más sucinta $(0,*)$. Este método se generaliza: la parte inferior de la plaza (2-cara) de la 3-cubo es $(*,*,0)$, etc. Tenga en cuenta que el $n$-cubo tendrá $k$-caras para $0\leq k\leq n$. Vea si usted puede encontrar una fórmula para cuántos hay!

Esto no es exactamente álgebra lineal, se parece más a la combinatoria. Además, este problema es en realidad un decente introducción a la idea de las dimensiones más elevadas, si se intenta visualizar las cosas en 4 dimensiones. Buscar en la internet para algunas representaciones de 4 cubos, y tratar de entender por qué ellos se ven de la manera que lo hacen.

Answer 3

En primer lugar usted necesita para ser claro acerca de lo que quieres decir por la cara, arista, vértice, etc. En mi opinión, si tenemos un $n$ dimensiones del cubo, a continuación, $n-1$ dimensiones de los cubos de la forma de sus caras, y $n-2$ dimensiones de los cubos de la forma de sus bordes. Vértices, como se define anteriormente son 0-D puntos. No tenemos nombres para $n-3$, $n-4$ dimensiones de los límites, así que no lo intento a nombre de ellos aquí.

Si usted está buscando una manera intuitiva para construir las relaciones se pueden definir inductivos relaciones utilizando el método de extrusión. Usted puede comenzar con $n=1$ si te gusta. En este caso tenemos una 1-D cubo (es decir, un segmento) con dos 0-D caras (es decir, puntos). Así

$$C_1 = 1$$ $$F_1 = 2$$ $$E_1 = 0$$ $$V_1 = 2$$

Donde $C_1$ es el número de cubos en 1-D espacio, $F_1$ es el número de caras, $E_1$ es el número de aristas (no se define aquí), y $V_1$ es el número de vértices.

Creamos un 2-D cubo (es decir, un cuadrado) mediante la extrusión de este 1-D cubo en una dirección ortogonal a todas las dimensiones actuales. Al hacer esto, suceden dos cosas:

1) Cada objeto se copia el mantenimiento de sus actuales dimensiones. Tuvimos un segmento, ahora tenemos dos, teníamos dos vértices, ahora tenemos cuatro.

2) Cada objeto extruido en la nueva dirección, se crea un objeto de una dimensión más. 1-el segmento D se extruye a través de una segunda dimensión para formar un cuadrado (es decir, 2-D de un objeto). Los vértices (0-D) son extruidos para convertirse en líneas.

Por lo que el número de cubos, caras, aristas, vértices se convierte en

$$C_2 = 1$$ $$F_2 = 2C_1 + E_1 = 4$$ $$V_2 = 2V_1 = 4$$ $$E_2 = V_2$$

Repita el proceso para un 3-D cubo. De nuevo tenemos dos fuentes para los nuevos objetos, copiar y extrusión.

$$C_3 = 1$$ $$F_3 = 2C_2 + E_2 = 6$$ $$E_3 = 2F_2 + V_2 = 12$$ $$V_3 = 2V_2$$

Continuar el proceso para llegar a dimensiones superiores.