Demostrar que rigurosamente por dos puntos$x, y \in M$, los espacios$M \ \backslash \{x\}$ y$M \ \backslash \{y\}$ son homeomorfa.

Question

Deje$M$ ser un colector topológico conectado. Demostrar que rigurosamente por dos puntos$x, y \in M$, los espacios$M \ \backslash \{x\}$ y$M \ \backslash \{y\}$ son homeomorfa.

No estoy seguro de la mejor manera de comenzar este problema. Yo estaba pensando en usar$CW$ - complejos, pero no llegué muy lejos.

Answer 1

Un colector localmente se parece a $\Bbb R^n$, y la conectividad implica ruta de acceso de la conexión.

1. Demostrar, que para abrir el balón $B\subseteq\Bbb R^n$ alrededor del origen y $x\in B$, hay un homeomorphism $\bar B\to \bar B$ (sobre el cierre de $B$) que es idéntica en $\partial B$ y mapas de $0$$x$. (Por lo tanto, para cualquier $x,y\in B$ hay un homeomorphism $\bar B\setminus\{x\}\to \bar B\setminus\{y\}$.
2. Para el $x,y\in M$, arreglar un camino de $\gamma:[0,1]\to M$ que los une ($\gamma(0)=x,\ \gamma(1)=y$), y considerar el abrir de los conjuntos de $\gamma^{-1}(U)$ para abrir todas las $U\subseteq M$ que admite un gráfico (desde el colector de estructura) $\varphi:U\to\Bbb R^n$, en virtud de la cual $\varphi(U)$ es una pelota. Esto va a ser una cubierta abierta de a $[0,1]$, por lo que un número finito puede ser elegido que todavía cubre $[0,1]$.
3. Así, podemos señalar una secuencia finita $0=t_0,\,t_1,\,t_2,\dots,t_N=1$ de los momentos que $\gamma(t_i)$ $\gamma(t_{i+1})$ se encuentran en un mismo gráfico balón $U_i$. Aplicar el homeomorphism dada en 1. a$U_i$, y sus dos puntos dados, y ampliar este mapa de identidad en $M\setminus U_i$. De esta forma vamos a obtener homeomorphisms $$M\setminus\{\gamma(t_0)\}\ \a \ M\setminus\{\gamma(t_1)\}\ \para \dots \a\ M\setminus\{\gamma(t_N)\} \,. $$

Answer 2

Si$f:M\to M$ es un auto-homeomorfismo satisfaciendo$f(x)=y$, la restricción$$f|_{M\setminus \{x\}}: M\setminus \{x\}\stackrel {\cong}{\to} M\setminus \{y\}$ $ resuelve su problema.

Ah, que va a decir, pero es la existencia de un providencial auto-homeomorfismo tales no un poco a pescado?
Bueno, sí, es a pescado , pero es cierto!