¿Qué es la geometría sintética? ¿Podrías proporcionar una explicación breve (es decir, un párrafo o dos, no mucho más largo) en términos generales elementales? En particular, espero poder entender el contraste entre enfoques sintéticos y analíticos (¿invariantes-teóricos?) al final.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dependiendo de la educación que hayas tenido, la diferencia es probablemente básicamente la misma que entre tus cursos de álgebra y geometría escolar. En un primer curso de geometría, generalmente recibes una lista de axiomas para puntos y líneas (se puede trazar un segmento de línea recta entre dos puntos, etc.). Luego creas pruebas de propiedades de figuras en el plano utilizando estos axiomas, sin escribir nunca ecuaciones algebraicas. Específicamente, nunca utilizas coordenadas en el plano para hacer este tipo de geometría, lo que se llama geometría sintética.
Los antiguos griegos llevaron la geometría sintética en el plano y en el espacio tridimensional a un nivel increíble, mucho más allá de lo que casi nadie aprende hoy en día. Por ejemplo, entendieron las "secciones cónicas", es decir, parábolas, elipses, (círculos,) e hipérbolas, casi por completo. Pero hoy en día generalmente piensas en una parábola, por ejemplo, como siendo el gráfico de una ecuación $y=ax^2+bx+c$. Es esta ecuación, que requiere elegir un par de ejes de coordenadas en el plano y una longitud de unidad en cada eje, lo que la geometría analítica usa y la geometría sintética evita. La distinción sintético-analítica todavía es muy visible en la investigación geométrica moderna, aunque las preguntas particulares de interés han cambiado drásticamente.
