Versión de Brauer-Nesbitt para sumandos

Question

El teorema de Brauer-Nesbitt (bueno, uno de ellos) dice que si $k$ es un campo y tengo dos representaciones semisimples (en dimensiones finitas $k$ -espacios vectoriales) $r_1$ y $r_2$ de un $k$ -Álgebra $A$ con la propiedad de que los polos char de $r_1(a)$ y $r_2(a)$ coinciden para todos los $a\in A$ , entonces las representaciones son isomorfas.

¿Es el caso que si el char poly de $r_1(a)$ divide el char poly de $r_2(a)$ para todos $a\in A$ entonces la representación menor es un sumando directo de la mayor?

[Me encontré con esto recientemente, pero afortunadamente en el caso que estaba considerando $A$ era conmutativo y $k$ tenía la característica cero, y me convencí de que seguramente estaba bien en este caso (cambio de base hasta un cierre de alg de $k$ y convencerse de que las representaciones semisimples matan todos los elementos nilpotentes, por lo que WLOG $A$ es etale y ahora lo hace a mano). Si $k$ es finito, entonces todavía no estoy seguro de por dónde apostar. Si $A$ fuera un anillo de grupo y sólo supiéramos que un char poly divide al otro para todos los elementos del grupo, entonces mi intuición es que esto no es suficiente en la característica $p$ pero tal vez me equivoque. Si $k$ tiene la característica cero, entonces apuesto por el sí, pero de nuevo no soy algebrista].

Answer 1

Por una extraña coincidencia que he encontrado la respuesta a mi pregunta. Yo estaba tratando de generalizar algunas ideas de Chenevier; Estaba leyendo su periódico Jacquet-Langlands --- una versión se me había pasado desde su sitio web. Por otras razones que en realidad fuimos a la página web de Duke para obtener la versión oficial --- y la versión oficial tiene los lemas resultaron en más generalidad! Ver Proposición 3.2 de la versión publicada por algunos comentarios pertinentes sobre este tema ...

Answer 2

El resultado es verdadero, independientemente de la característica.

Lemma: Sea A un álgebra k y M un módulo A semisimple que es de dimensión finita como álgebra k. Entonces la imagen de A en $\mathrm{End}_k(M)$ es un anillo semi-simple.

Entonces, por el teorema de Artin-Wedderburn, esta imagen es una suma directa de álgebras matriciales sobre anillos de división.

Prueba: Llamemos a esta imagen S. Como S es de dimensión finita, es artiniana. Sea $M= \bigoplus V_i$ y que $t=(t_i)$ se encuentran en el radical de Jacobson de S. Para cada $V_i$ la condición de que $V_i$ es un módulo A simple implica que es un módulo S simple. Así que t debe actuar trivialmente sobre $V_i$ y por lo tanto $t_i=0$ . Pero hemos probado esto para todo i, así que $t=0$ y el radical de Jacobson de S es trivial. QED.

Ahora podemos reducir al caso de que A=S, y es una suma directa de anillos de división. Digamos que $A = \bigoplus \mathrm{Mat}_{n_i}(\Delta_i)$ . Por tanto, todo módulo A es de la forma $$\bigoplus (\Delta_i^{n_i})^{k_i}$$ para algunos $k_i$ y el polinomio característico correspondiente es $$\chi(\lambda, g) = \prod \chi_i(\lambda, g_i)^{k_i}$$ donde, para $h \in \mathrm{Mat}_{n_i}(\Delta_i)$ el polinomio $\chi_i(\lambda, h)$ es el polinomio característico de $h$ actuando sobre $\Delta_i^{n_i}$ .

Un argumento mucho mejor, sugerido por el comentario de Buzzard más abajo. (No estoy seguro de si el original se puede arreglar o no). $M = \bigoplus (\Delta_i^{n_i})^{k_i}$ y $N = (\Delta_i^{n_i})^{\ell_i}$ . Supongamos que M no es un sumando de N, entonces $k_i > \ell_i$ para algunos $i$ . Sea g 1 en la componente i y 0 en todas las demás. Entonces los polinomios característicos de M y N son de la forma $(\lambda-1)^{n_i k_i} \lambda^{\bullet}$ y $(\lambda-1)^{n_i \ell_i} \lambda^{\bullet}$ . Así que lo primero no divide lo segundo.

Sólo tenemos que demostrar que los polinomios $\chi_i$ como funciones polinómicas en $\overline{k} \times A$ son relativamente primos entre sí. Esto es bastante fácil. Sea $t_a$ ser una base para el $k$ -funciones lineales en $\mathrm{Mat}_{n_i}(\Delta_i)$ y $u_b$ una base para la $k$ -funciones lineales en $\mathrm{Mat}_{n_j}(\Delta_j)$ . Entonces $\chi_i(\lambda, g_i)$ es un polinomio homogéneo en $\lambda$ y $t_a$ ; mientras $\chi_j$ en homogéneo en $\lambda$ y $u_b$ . Su GCD debe ser homogéneo en ambos sentidos, por lo tanto, es de la forma $\lambda^m$ .

Pero, si $\lambda | \chi_i(\lambda)$ Esto significa que no hay $g$ que actúa de forma invertida sobre $\Delta_i^{n_i}$ ; contradiciendo que la identidad actúe así. Así que el GCD es 1, y el resultado es verdadero.

Answer 3

No es una respuesta a toda la pregunta, pero creo que cuando $A$ es un anillo de grupo no es suficiente con comprobar los elementos del grupo, incluso en el $G$ conmutativo/ $\text{char}(k)=0$ caso en el que Buzzard puede demostrar su variante Brauer-Nesbitt. Consideremos el ejemplo en el que $G$ es un grupo abeliano, $r_1$ es el carácter trivial, y $r_2$ es la suma de todos los caracteres no triviales (ya que cada $g \in G$ está en el núcleo de algún carácter no trivial).