La Integral que Metió Feynman?

Question

En "Seguramente estás Bromeando, Señor Feynman!," Premio Nobel de la ganadora del premio de física Richard Feynman dijo que retó a sus colegas para darle una integral que se puede evaluar sólo con métodos complejos que no podía hacerlo con los métodos:

Una vez se jactó: "yo puedo hacer por otros métodos de integral que nadie las necesidades de contorno de integración a hacer".

Así que Pablo [Olum] pone esta tremenda maldito integral que había obtenido a partir de una función compleja que él sabía la respuesta, tomando la parte real de la misma y dejando sólo la parte compleja. Había desenvuelto de manera que sólo fue posible por el contorno de integración! Él siempre fue desinflando me gusta eso. Él era muy inteligente compañeros.

¿Alguien sabe lo que sucederá a esta integral?

Answer 1

Dudo de que alguna vez se conoce con exactitud la integral que atormenta a Feynman. Aquí es algo similar a lo que describe.

Supongamos $f(z)$ es una analítica de la función de la unidad de disco. Entonces, por Cauchy de la integral de la fórmula, $$\oint_\gamma \frac{f(z)}{z}dz = 2\pi i f(0),$$ donde $\gamma$ traza el círculo unitario en el sentido contrario de la forma. Deje $z=e^{i\phi}$. Entonces $\int_0^{2\pi}f(e^{i\phi}) d\phi = 2\pi f(0).$ Tomando la parte real de cada lado nos encontramos con $$\begin{equation*} \int_0^{2\pi} \mathrm{Re}(f(e^{i\phi}))d\phi = 2\pi \mathrm{Re}(f(0)).\tag{1} \end{ecuación*}$$ (Podríamos tomar la parte imaginaria.) Claramente podemos construir una terrible integrales eligiendo $f$ adecuadamente.

Por ejemplo, supongamos $\displaystyle f(z) = \exp\frac{2+z}{3+z}$. Esta es una leve elección en comparación con lo que se podría hacer ... En cualquier caso, $f$ es analítica en el disco. La aplicación de (1), y después de algunas manipulaciones de el integrando, nos encontramos con $$\int_0^{2\pi} \exp\left(\frac{7+5 \cos\phi}{10+6\cos\phi}\right) \cos \left( \frac{\sin\phi}{10+6 \cos\phi} \right) d\phi = 2\pi e^{2/3}.$$

Answer 2

Casualmente, me acaba de pasar a ser la lectura de "Genio: La Vida y la Ciencia de Richard Feynman" hace un par de semanas. En la página 178, James Gleick, escribe:

En el almuerzo un día, sintiéndose incluso más exuberante de lo habitual, me desafió a la mesa de la competencia. Él apuesta que él podía resolver cualquier problema dentro de sesenta segundos, para que en el plazo de diez por ciento de precisión, que se puede decir en diez segundos. El diez por ciento era un amplio margen, y la elección de un adecuado problema fue duro. Bajo la presión de sus amigos se encontraron incapaces de sorprenderlo a él. El problema más difícil cualquiera podía producir era: Encontrar el décimo coeficiente binomial en la la expansión de $(1 + x)^{20}$. Feynman resuelto que justo antes de que el reloj salió corriendo. Entonces Pablo Olum habló. Había jousted con Feynman antes, y esta vez él estaba listo. El exigieron la tangente de diez a la centésima. La competencia fue más. Feynman esencialmente habría tuvo que dividir uno por $\pi$ y lanzar fuera de los cien primeros dígitos de los resultados - que significaría conocer la centésima parte de un dígito decimal de $\pi$. Incluso Feynman no podría producir que en el corto plazo.

Answer 3

La Pregunta era acerca de la Diferenciación en virtud de la integral de la Regla.

La cita directa de "seguro Que estás Bromeando, Señor Feynman!" sobre el método de diferenciación bajo el signo integral es como sigue:

Una cosa que nunca supe fue contorno de integración. Yo había aprendido a hacer las integrales por los diversos métodos que se muestran en un libro que mi física de la escuela secundaria maestro Bader me había dado. Un día él me dijo que quedarse después de clase. "Feynman", dijo, "usted habla demasiado y hacer mucho ruido. Yo sé por qué. Estás aburrido. Así que me voy a dar un libro. Ir hasta allí en la parte de atrás, en la esquina, y el estudio de este libro, y cuando usted sabe todo lo que está en este libro, se puede hablar de nuevo." Para cada clase de física, no presté ninguna atención a lo que estaba pasando con la Ley de Pascal, o lo que sea que estaban haciendo. Yo estaba en la parte de atrás con este libro: Cálculo Avanzado, por el Bosque. Bader sabía que yo había estudiado Cálculo para el Hombre Práctico un poco, así que él me dio las obras reales-fue para un junior o senior de curso en el colegio.

Había series de Fourier, funciones de Bessel, determinantes, elíptica funciones-todo tipo de cosas maravillosas que yo no sabía nada acerca de. Ese libro también mostró cómo diferenciar los parámetros bajo el signo integral-es una operación determinada. Resulta que no es enseñado mucho en las universidades; no enfatizarlo.

Pero me había percatado de cómo utilizar ese método, y que he usado una maldita herramienta de nuevo y de nuevo. Porque yo era un autodidacta que usan el libro, tuve peculiares métodos de hacer las integrales. El resultado fue, cuando los chicos del MIT o de Princeton tenido problemas para hacer una cierta integral, fue porque no podía hacerlo con los métodos estándar que habían aprendido en la escuela. Si era el contorno de integración, se habría encontrado; si se trataba de una simple expansión de la serie, se habría encontrado. Entonces yo venga y pruebe la diferenciación bajo el signo integral, y a menudo se trabajó. Así que me dieron una gran fama para hacer integrales, sólo porque mi caja de herramientas fue diferente de todos los demás, y que había intentado todas sus herramientas antes de dar el problema para mí.

Answer 4

Era algo relacionado con el cálculo de una integral definida, que requiere de Feynman para calcular algunos dígitos de $\pi$ después del punto decimal. Una referencia exacta a esta integral, sería muy difícil de encontrar, si existe, en la literatura.