Unidades de anillos de polinomios sobre un campo

Question

Si$R$ es un campo, ¿cuáles son las unidades de$R[X]$?

Mi intento: Let$f,g \in R[X]$ y$f(X)g(X)=1$. Entonces la única solución para la ecuación es a la vez$f,g \in {R}$. Así$U(R[X])=R$, excluye elementos cero de$R$.

Es esto correcto ?

Answer 1

Si$f=a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m$ tiene grado$m$, es decir,$a_m\ne 0$, y$fg=1$ para algunos$g=b_0+\ldots+b_n x^n$ (y$b_n\ne 0$), a continuación, observar que$0=\deg(1)=\deg(fg)=\deg(a_0b_0+\ldots+a_mb_nx^{n+m})=m+n$ como $a_mb_n\ne 0$. Por lo tanto$m+n=0$ y así$m=n=0$ como$m,n\ge 0$. De ahí$f\in R^*$ y$R[x]^*=R^*$ (la estrella denota el conjunto de unidades).