Es$(x)\otimes_{k[x]/(x^2)}(x)$ cero?

Question

Estoy tratando de decidir si$(x)\otimes_{k[x]/(x^2)}(x)$ es igual a cero.

Así que yo consideraba$x \otimes x$, lo que Reescribí como$1 \otimes x^2 = 1 \otimes 0 = 0$. Pero luego me di cuenta de que$1$ no vive en$(x)$. Ahora estoy seguro de cómo proceder. También está empezando a sentir como$x \otimes x \neq 0$. Gracias.

Answer 1

Deje $A = k\left[x\right]/\left(x^2\right)$, y vamos a denotar la proyección de $x \in k\left[x\right]$ a $A$ $x$ (por abuso de notación). Supongo que su $\left(x\right)$ $A$- submódulo de $A$ atravesado por $x$. Y su pregunta es: Es $\left(x\right) \otimes_A \left(x\right) = 0$ ?

Yo reclamo que la respuesta es "No". De hecho, hay un $A$-bilineal mapa de $\left(x\right) \times \left(x\right) \to k\left[x\right]/\left(x\right)$ (tenga en cuenta que el lado derecho de esta es una $A$-módulo, de la manera obvia) el envío de todos los $\left(xa,xb\right)$ a la proyección de $ab$. Usted necesita para comprobar que este mapa está bien definida (cualquier elemento de $\left(x\right)$ puede ser escrito como $xa$ para diferentes polinomios $a$, y que usted necesita para comprobar que todos llevan a la misma $ab$). Pero una vez probado, se deduce que hay un valor distinto de cero $A$-bilineal mapa de $\left(x\right) \times \left(x\right)$ $A$- bimodule (de hecho, este mapa es claramente distinto de cero, ya que envía a$\left(x,x\right)$$1$). Pero este mapa de factores a través de $\left(x\right) \otimes_A \left(x\right)$. Por lo tanto, $\left(x\right) \otimes_A \left(x\right)$ no puede ser $0$ (o por el contrario es un factor a través de $0$, que vuela en la cara de su ser distinto de cero).

En realidad es fácil ver que $\left(x\right) \otimes_A \left(x\right) \cong k\left[x\right] / \left(x\right)$, y también el $A$-módulo de $\left(x\right)$ sí es isomorfo a $k\left[x\right] / \left(x\right)$.

Answer 2

Las siguientes observaciones se hacen de pasada en la respuesta aceptada. Creo que se merecen una prueba completa.

Deje$R=K[X]/(X^2)$, y$x$ sea la clase de residuo$X$ Módulo del ideal$(X^2)$. Entonces$$\operatorname{Ann}_R(x)=Rx.$ $

Desde que tenemos $x^2=0$. Por lo contrario, deje$Rx\subseteq\operatorname{Ann}_R(x)$. Entonces $f(x)\in\operatorname{Ann}_R(x)$.

Desde$f(x)x=0\Rightarrow f(X)X\in(X^2)\Rightarrow f(X)\in(X)\Rightarrow f(x)\in Rx$ obtenemos$Rx\simeq R/\operatorname{Ann}_R(x)$, y esto nos da$Rx\simeq R/Rx$ $