¿Polinomios como espacios vectoriales?

Question

¿Alguien podría explicar cómo los polinomios son espacios vectoriales? No entiendo esto en absoluto. Los vectores son rectos, ¿cómo podría ser un polinomio un vector? ¿Es solo que los coeficientes son espacios vectoriales? Realmente no entiendo cómo se relacionan los polinomios con el álgebra lineal en absoluto. Puedo resolver todos los problemas con ellos, porque se hacen de la misma manera que cualquier otro problema de vectores, pero no entiendo intuitivamente qué estoy haciendo en absoluto.

Answer 1

Un espacio vectorial (real) significa, por definición, cualquier conjunto $V$ junto con las operaciones ${+_V}: V\times V\to V$ y ${\times_V}: \mathbb R\times V \to V$, tal que

1. $+_V$ es asociativa y conmutativa y tiene un elemento neutro, y tiene inversas para cada elemento de $V$.
2. $\times_V$ se asocia con la multiplicación real: $a\times_V(b\times_V v)=ab\times_V v$ para todo $a,b\in \mathbb R$ y $v\in V$.
3. $\times_V$ se distribuye sobre $+_V$ en el sentido de que $a\times_V(v+_Vw)=(a\times_V v)+_V(a\times_V w)$ y $(a+b)\times_V v=(a\times_V v)+_V(b\times_V v)$ para todo $a,b\in \mathbb R$ y $v,w\in V$.

Sucede que si takes el conjunto de todos los polinomios junto con la adición de polinomios y la multiplicación de un polinomio por un número, la estructura resultante satisface estas condiciones. Por lo tanto es un espacio vectorial -- eso es todo.

Puede ser útil intuitivamente visualizar los vectores como flechas pequeñas (o como estés acostumbrado a pensar en vectores geométricos), pero esto es solo intuición que puede ser útil o no -- intencionalmente no forma parte de el concepto de espacio vectorial de álgebra lineal.

Answer 2

Cuando imaginamos vectores, todos vemos flechas de nuestras clases de física de pregrado. Y está bien. Sin embargo, ¿qué es un espacio vectorial? Bueno, es cualquier conjunto donde puedes sumar elementos entre ellos con factores de proporcionalidad. Y definitivamente puedes sumar polinomios y multiplicarlos por números reales.

Creo que solo necesitas aceptar que la representación gráfica que te gusta es solo una forma de recordar las únicas propiedades que definen un vector: puedes sumarlos juntos y puedes "extenderlos" multiplicándolos por un número real (o un número complejo, por supuesto...).

Siempre he pensado que "espacio vectorial" es una palabra demasiado compleja para simplemente representar la posibilidad de sumar y "extender" los elementos de un conjunto.

Answer 3

Un espacio vectorial tiene dos tipos de cosas: vectores y escalares. Debe ser posible sumar dos vectores y debe ser posible multiplicar un vector por un escalar. También hay algunas leyes que la adición y la multiplicación deben obedecer, como $s\cdot(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = s\cdot\mathbf{a} + s\cdot\mathbf{b}$.

Un ejemplo de esto es tomar los vectores como $4$-tuplas de números reales, digamos $\langle a,b,c,d\rangle$, y los escalares como números reales individuales. Podemos sumar dos vectores (sumándolos componente por componente) y podemos multiplicar un vector por un escalar, multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar.

Otro ejemplo de esto es tomar los vectores como matrices $2\times 2$ de números reales $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$ y los escalares como números reales individuales. Podemos sumar dos de estos vectores usando la adición de matrices ordinaria, y podemos multiplicar una matriz por un escalar, multiplicando cada una de sus entradas por el número individual.

Por supuesto, este ejemplo es exactamente igual al de el párrafo anterior. Los vectores se comportan exactamente de la misma manera, ya sea que los escribamos como $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ o como $\langle a,b,c,d\rangle$. No importa si los corchetes son curvos o angulados, o si escribimos los números apilados o no.

He aquí otro ejemplo: tome los vectores como polinomios de tercer grado, digamos $ax^3 +bx^2+cx+d$, y los escalares como números reales. Podemos sumar dos de estos vectores usando la adición de polinomios ordinaria, y podemos multiplicar un vector por un escalar multiplicando los coeficientes del polinomio por el número individual.

Este ejemplo es igual que los dos anteriores. Podríamos abreviar $ax^3+bx^2+cx+d$ como $\langle a,b,c,d\rangle$ (ya que las partes que incluyen $x$ son siempre las mismas, podríamos simplemente acordar no escribirlas) o como $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. No importa si escribimos los cuatro números en línea, o en una pila, o con $x^3$es y signos de suma en medio; los vectores siguen comportándose de la misma manera.

Entonces, ¿por qué molestarse en hacerlo? Esta es una de las grandes fortalezas de las matemáticas, ver cuándo dos tipos de objetos aparentemente diferentes son en realidad iguales, y desarrollar una teoría abstracta que se aplique en múltiples situaciones. Una vez que desarrollamos una teoría de espacios vectoriales, podemos aplicar esa teoría a todo tipo de cosas que se comportan como vectores, como polinomios, incluso si normalmente no pensamos en ellos como vectores. En resumen, al entender los polinomios como vectores, podemos usar la teoría de espacios vectoriales para ayudarnos a resolver problemas que se tratan de polinomios.

Por ejemplo, en Constructing a degree 4 rational polynomial satisfying $f(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 0$ utilicé la teoría de espacios vectoriales para mostrar que el polinomio requerido realmente existe, y mi método para calcular ese polinomio se basa en gran medida en la teoría de espacios vectoriales; se reduce a encontrar las coordenadas de un cierto vector en una base diferente.

Answer 4

El anillo de polinomios con coeficientes en un campo es un espacio vectorial con base $1, x, x^2,x^3,\ldots$. Cada polinomio es una combinación lineal finita de potencias de $x$ y si una combinación lineal de potencias de $x$ es 0 entonces todos los coeficientes son cero (considerando que $x$ es un indeterminado, no un número).

Answer 5

Tal vez sea mejor definir qué es un espacio vectorial. Primero, deben ser sobre un campo; en este caso, probablemente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. Para polinomios, es mejor pensar en ciertas propiedades agradables que satisface. Por ejemplo, $a(P(x) + Q(x)) = aP(x) + aQ(x)$ o $(a+b)P(x) = aP(x) + bP(x)$ serían dos propiedades distributivas que debe satisfacer. Busca qué es un espacio vectorial para más de los axiomas.

Cuando piensas en tomar $w = cu+v$ con $u$ y $v$ yendo en la misma dirección, encuentras que $w$ va en la misma dirección (hasta la orientación). Aquí estás pensando en el subespacio cerrado de vectores en una línea dada. Para polinomios, tu "dirección" podría ser que $P(0) = 0$. Entonces la dirección no cambia al agregar polinomios o escalar por un número real o complejo. Pero aquí tu noción de "dirección" ha cambiado. Un espacio vectorial abstrae una construcción geométrica y por lo tanto puede ser imposible explicar estas nociones de forma geométrica.