¿Hay una buena imagen física de por qué los niveles de energía en un átomo de hidrógeno son independientes del momento angular número cuántico$\ell$ y$m$?
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Stefano
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La degeneración de la energía de los niveles puede explicarse por el hecho de que el átomo de hidrógeno posee un mejorado $SO(4)$ simetría causado por (entre otras cosas) la conservación de la Laplace-método de Runge-Lenz vector operador, ver, por ejemplo, este Phys.SE post y Ref. 1.
Referencias:
- G. 't Hooft, Introducción a la Mentira de los Grupos en Física, notas de la conferencia, en el capítulo 9. El archivo pdf que está disponible aquí.
John
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261
El menor y la respuesta correcta: a esta degeneración es determinado por la simetría del sistema.
El caso de la degeneración en el átomo de hidrógeno es el llamado "accidental degeneración", cuando las funciones propias pertenecientes a diferentes representaciones irreducibles del grupo de simetría de un Hamiltoniano corresponden a la misma energía. Este tipo de degeneración puede también ocurre en los sistemas más grandes, por ejemplo, en las moléculas. Esta degeneración no se puede predecir sólo a partir de la referencia en la consideración de los Hamiltonianos de simetría. La razón de esta degeneración es la existencia de simetría oculta en el sistema.
Matemáticamente, esto significa que uno puede construir para los sistemas con simetría oculta algunas cantidades conservadas, los llamados "integral invariante", que debe ser incluido en la consideración de la simetría propetries además de la simetría de Hamilton. Y, en principio, es posible resolver la ecuación de Schroedinger en más difíciles de la manera con la inclusión de estos "integral invariantes" y obtener la solución, para que estos "accidental degeneraciones" será estrictamente incluido.
En el caso del átomo de hidrógeno, la razón es el invarience de que el sistema no sólo para las tres dimensiones de la rotación del grupo 0(3), sino también a las cuatro dimensiones de la rotación del grupo 0(4) - el sistema de inesperados a primera vista oculto de la simetría.
kamens
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6043
La supersimetría
Bueno, fijo $l$, la degeneración de $m$ es porque de SO(3) la simetría, sólo estamos viendo una representación completa de este grupo.
La gran pregunta es ¿por qué todo el radial hamiltonianos $H_l$ para diferentes angular momenta tienen el mismo espectro, excepto un número discreto de valores propios.
Nota que, en particular el de la torre de espectro para $l$ y la torre de $l+1$ sólo difieren en un valor propio, el de menor energía. Esta es la configuración típica que uno puede leer en Witten la Mecánica Cuántica Supersimétrica: un par de hamiltonianos que difieren sólo en el vacío eigenstate. Así que usted debe ser capaz de construir una supersimetría generador de Q tal que $H_1=QQ^+$ es el radial de hamilton para el momento angular de $l$ $H_2=Q^+Q$ es el radial de hamilton para el momento angular de $l+1$.
SUSY QM es más simple que el QFT QM; que no contempla Vuelta; el estado y la superpartner son sólo dos niveles en QM hamiltonianos. Es sólo un poco más avanzada, matemáticamente, que el método de factorización; todavía se permite algunas topológico argumentos sobre susy romper ese generalizar a la QFT versión, esa era la idea de Witten a la hora de definirlo.
Justo ahora no estoy seguro de si esto de la conexión para cada una de las potenciales habiendo $l,m$ degeneración no existe, o sólo para Coulomb-Hidrógeno caso; para empezar, esto implica que el potencial de $V(r)$ debe provenir de una superpotenciales, por lo que seguramente no es tan trivial para hacer, no para clasificar todas las familias de la radial potenciales que permiten hacer este truco. Pero es una de veinte años de antigüedad idea por ahora, así que seguramente ya está hecho.
Ok, incluso hay una entrada en la wikipedia. Según él, la superpotenciales es $$W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{\lambda}{2(l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}$$
De modo que los potenciales $$V_-=W^2-W'= -\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2}- \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2} $$ y $$V_+=W^2+W'=-\lambda \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{\lambda^2 m}{2 h^2 (l+1)^2}$$ tienen el mismo espectro, excepto para el de menor energía autovalor de la primera, que es cero, y no puede aparecer en la segunda (buen resultado topológico).
La ventaja de esta explicación es que puede ser extendido a los potenciales sin la plena SO(4) la simetría y a la más exótica de los casos donde el emparejamiento falla por otros autovalores.
PS: se puede notar que la superpotenciales de Coulomb problema es sólo una constante, lejos de la $W(r)=1/r$. Un punto interesante es que este superpotenciales puede ser calibrado a la par con la partícula libre: $V_+(r)=W^2+W'=0$; el superpotentials tener esta propiedad de generar el llamado "transparente potenciales", con propiedades especiales en el cambio de fase. Se puede pensar en ellos como la generalización de la ecuación radial para simétrica espacios, con $1/r$ siendo la distancia euclídea caso.
conexión con so(4) grupo de representaciones (y los métodos de Runge-Lenz vector?)
Según la última página de esta conferencia, el papel de los métodos de Runge-Lenz vector como un sobrecargo es analíticamente complicado. Pero al menos tenemos un poco de ayuda de la teoría de grupo, si recordamos que so(4) ~ su(2) x su(2) y(3) ~ su(2). Así que para nuestros fines, nos puede escribir realmente $$so(4) \approx su(2) \oplus so(3)$$ La rotación parte, so(3), nos da el $m$ degeneración en el interior de una representación del grupo de las rotaciones; esto debería existe para cada central de potencial. El $su(2)$ parte es el que tiene la escalera de operador permite una interpretación como la supersimetría cargo, donde la degeneración no es completa debido a la diferencia en la energía más baja eigenstate; generalmente desaparece porque $Q |\Omega>$ no es normalizable. (Soy un poco fascinado que la susy escalera operador está relacionado con SU(2), porque en susy QM esto no es necesario, o al menos no explícito)
La supersimetría generador de Q (alt. $Q^+$) cuando se aplica a la eigenfunction de un hamiltoniano produce la correspondiente eigenfunction en la pareja. Este es el mismo papel que la escalera generador se utiliza para producir los estados dentro de una representación del grupo de simetría, pero en este punto de vista se trata de susy emparejamiento: si $$H_2 \psi = Q^+Q \psi = E\psi$$ entonces $$H_1 (Q\psi) = (Q Q^+) (Q \psi) = Q H_2 \psi = E (Q\psi)$$
Tenga en cuenta que el emparejamiento falla si $Q\psi$ no existe; este es el caso para el vacío potencial, pero recuerdo que J Casahorran hizo algún estudio para otros estados propios más allá del vacío (es complicado, porque de Witten resultados).
akhmeteli
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