La teoría de Seiberg-Witten y la superconductividad

Question

Parece que hay alguna relación (profunda) entre La teoría de Seiberg-Witten y superconductividad . por ejemplo este documento de Witten .

P: ¿Podría alguien presentar las relaciones entre los dos físicamente en términos de intuición ? y matemáticamente en términos de formalismo ? ¿Cómo es exactamente la relación?

Answer 1

La conexión entre la superconductividad y la teoría de Seiberg-Witten puede entenderse mediante la observación de que la superconductividad está relacionada con el efecto Meissner, que es la exclusión de las líneas de campo magnético de un superconductor. La teoría de Seiberg-Witten se basa en el análisis del espacio de módulos de un $\mathcal{N}=2$ teoría supersimétrica de Yang-Mills. Resulta que la teoría contiene monopolos que adquieren un valor de expectativa de vacío distinto de cero, lo que puede interpretarse como una versión del efecto Meissner. Creo que no se puede dar una explicación matemática exhaustiva en una respuesta, prefiero remitirme a la literatura. El libro "Modern Supersymmetry" de John Terning ofrece una buena visión general de la teoría de Seiberg-Witten; también se discute el efecto Meissner.

Answer 2

Hay una relación muy directa que responde a tu pregunta, y la expondré de la forma en que la aprendí (pero puedes derivar una conexión diferente pasando entre dimensiones):

La reducción bidimensional de las ecuaciones de Seiberg-Witten son las ecuaciones de vórtice (abelianas).

El $SU(2)$ -ecuaciones de vórtice en $\mathbb{R}^2$ son una ecuación de Yang-Mills-Higgs, y es una versión bidimensional de la superconductividad, que en realidad se define en $\mathbb{R}^3$ con $G=U(1)\subset SU(2)$ . Aquí las ecuaciones YMH son precisamente las Ecuaciones de Landau-Ginzburg y $\phi$ representa un Pareja de Cooper (un estado ligado de dos electrones). Las soluciones mínimas a esto tienen $0=D_A\phi=d\phi+A\phi$ y por lo tanto $0=D_A^2=F_A$ que representa físicamente el Efecto Meissner (la expulsión de los campos magnéticos de la masa de un superconductor). Aquí $\phi$ adquiere un valor constante $|\phi|=1$ ; perturbando este mínimo $\phi=1+h$ y expandiendo las ecuaciones LG hasta el primer orden en $h$ da lugar a dos EDOs amortiguadas (una para $h$ uno para $A$ ) cuyas soluciones proporcionan el longitud de la correlación (del par Cooper) y profundidad de penetración (del campo magnético).

Es posible que haya oído hablar de los "monopolos" en relación con la teoría del SW. Esto se debe a que la reducción tridimensional de las ecuaciones de Seiberg-Witten son las ecuaciones (abelianas) Ecuaciones de bogolmonía que definen los monopolios. Como en el caso anterior, $SU(2)$ Los vórtices y los monopolos están intrínsecamente relacionados, y están dictados por una $SU(2)$ Teoría Yang-Mills-Higgs en $\mathbb{R}^n$ para $n=2,3,4$ (el $n=4$ caso exhibe una relación con los "instantones de Donaldson"). Las relaciones exactas con todo lo que he murmurado llevarán más tiempo para discutirlas (por ejemplo, las ecuaciones tridimensionales que describen los monopolos y también los superconductores son ligeramente diferentes, dependiendo de la existencia de un potencial y del tipo de representación (para el grupo gauge) que se utilice).