Cohen-Macaulay pero no regulares

Question

En la página wiki se afirma que

$K[[t^2,t^3]]$ Es un$1$ - dimensional anillo de Cohen-Macaulay, que no es regular. ¿Hay alguien que amablemente me explique la afirmación anterior?

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

A ver que $K[[t^2, t^3]]$ es Cohen-Macaulay, vamos a mostrar la declaración más fuerte que es Gorenstein. Como $K[[t^2,t^3]]$ es un anillo local, esto es equivalente a mostrar que el polinomio anillo de $K[t^2,t^3]$ es Gorenstein (desde un noetherian conmutativa anillo local es Gorenstein iff su finalización). Pero $K[t^2,t^3] \simeq K[x,y]/(x^3-y^2)$ es un plano de la curva, por lo tanto Gorenstein.

Sin embargo, si $K[[t^2,t^3]]$ eran regulares, a continuación, ya que es un anillo local, el de Auslander-Buchsbaum teorema implica que es una UFD. En particular, es integralmente cerrado. Pero la integral de cierre de $K[[t^2,t^3]]$$K[[t]]$, una contradicción.

Answer 2

El anillo de la extensión de $K[[X^2,X^3]]\subset K[[X]]$ es integral, por lo $\dim K[[X^2,X^3]]=1$ y por lo tanto es CM. Por otra parte, $K[[X^2,X^3]]$ es local, el máximo ideal de ser $(X^2,X^3)$. Si $K[[X^2,X^3]]$ es regular, entonces su máxima ideal debe ser principal. Supongamos que $(X^2,X^3)=(f)$, $f\in K[[X^2,X^3]]$. A continuación,$X^2=fg$, lo $f\mid X^2$. Si el look en $K[[X]]$ $f=1$, $f=X$, o $f=X^2$ (eventualmente se multiplica por una constante). El primer caso no es posible, mientras que en el segundo $f\notin K[[X^2,X^3]]$. Permanece $f=X^2$ y, a continuación, $X^3=X^2g$ algunos $g\in K[[X^2,X^3]]$, una contradicción.

Ahora uso un bien conocido teorema que dice que un local noetherian anillo es regular el fib ha finito dimensión global.