solución no separable de la ecuación de Schrödinger

Question

Schrödinger soluciones son generalmente, si no siempre de tipo: $\psi=\operatorname{T}(t)*\operatorname{X}(x)$ (utilizamos la separación de variables método para llegar a tiempo independiente de la ecuación de Schroedinger).

Yo estaba tratando de encontrar un no-separables de la solución. Para este propósito he probado el método siguiente: componer el producto T(t)*X(x) en otra función. Por ejemplo: $\sinh(\operatorname{T}(t) \cdot \operatorname{X}(x))$ o $\ln(\operatorname{T}(t) \cdot \operatorname{X}(x))$ o $(\operatorname{T}(t) \cdot \operatorname{X}(x))^2$ y así sucesivamente.

Entonces yo trate primera vez derivado de la $\psi = \mathrm{second}$ posición de derivados de $\psi$ (tratando de encontrar una solución para el nulo potencial. Además, yo sé que necesito una constante, pero para simplificar).

Llego a una ecuación diferencial. Yo intente las soluciones simples para una de las funciones como $\operatorname{T}(t)=t$. Llego a una muy difícil ecuación diferencial que no puede ser resuelto, incluso con un mira: http://www.amazon.com/Handbook-Solutions-Ordinary-Differential-Equations/dp/1584882972

Si hay alguna obvio no separables solución que me estoy perdiendo?

Answer 1

Así, las soluciones de la ecuación de Schroedinger son por lo general (pero no siempre) se escriben en la forma $\psi = \sum_n T_n(t) \ast X_n(x)$, es decir, como una suma de separarse de soluciones. De hecho, siempre es posible escribir la solución en este formulario. De ello se desprende del hecho de que el Hamiltoniano es Hermitian y todos Hermitian operadores diagonalizable. (Estoy ignorando a los operadores de los espectros continuos, pero esto no es una complicación grave.)

Soluciones que no son de la forma $T(t)\ast X(x)$ son a veces útiles a pesar de que -- coherente de los estados son un ejemplo.

Me puede dar más detalles sobre cualquiera de los anteriores si usted lo pide.

Answer 2

En general cada combinaciones lineales de una solución separables sigue siendo una solución (principio de superposición), para que pueda tomar la solución separables más simple, lo puso en una combinación lineal con coeficientes arbitrarios (números complejos, fases) y se obtiene una solución de Sc. ecuación no separables.