Sabemos$\Psi(x,t)$ es compleja, pero podemos$\Psi(x)$ ser compleja? He visto partícula en una caja, y así oscilador armónico. Todos tienen soluciones reales para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por lo tanto, tengo curiosidad de saber ejemplos en los que es complejo. Esta pregunta se dice que es posible, por lo tanto, mi petición es para ejemplos y referencias.
Respuestas
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Una partícula cargada en un campo magnético externo tiene el siguiente Hamiltoniano:
$$\hat H=\frac1{2m}\left(\hat{\vec p}-q\vec A\right)^2+qV,$$
donde $\vec A$ es el vector de potencial, $V$ es el potencial escalar y $\hat{\vec p}=-i\hbar\nabla$ es el impulso del operador.
Si establece $\vec A\not=0$, obtendrá no trivialmente complejo de la función de onda, y no habrá ninguna degeneración debido al tiempo que la simetría de la inversión como es el caso habitual de ejecución de onda, debido a que el campo magnético se rompe el tiempo-la simetría de la inversión.
reshefm
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Rajesh: Que significa que el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger no de la demanda de los números complejos si uno elige para evitarlos. a la derecha?
NOTA: Esta respuesta es una especie de trampa, debido a la degeneración, y por lo tanto no contesta el OP pregunta. Esperemos que alguien con mejor conocimiento puede responder a Rajesh la respuesta con verdadero rigor.
He aquí un ejemplo de un sistema físico en el que se admite que son autoestados trivial de valores complejos. En física molecular en el límite de la divisibilidad de las vibratoria de movimiento de los otros grados de libertad, polyatomics con doblemente degenerada de vibración eigenbases tienen los estados estacionarios que pueden ser representados a través de sus números de ocupación en $\nu$$l$, el total de número cuántico vibracional y la vibración de número cuántico del momento angular, respectivamente.
En coordenadas polares, con un radio de $\rho$ y el ángulo de $\theta$, los estados estacionarios de $H$ se dan a través de su expansión en términos de la generación de la función $$G=\pi^{-1/2}\rho^{1/2}\mbox{exp}\left[-\frac{1}{2}\rho^2+\frac{1}{\sqrt{2}}\rho e^{i\theta }su+\frac{1}{\sqrt{2}}\rho e^{-i\theta}s u^{-1}-\frac{1}{2}s^2\right]$$ $$=\sum_{\nu,l}\frac{\left<\rho,\theta|\nu,l\right>s^\nu u^l}{\left\{2^\nu[\frac{1}{2}(\nu+l)]![\frac{1}{2}(\nu-l)]!\right\}^{1/2}}$$ donde $l\in\{-\nu,-\nu+2,...,\nu-2,\nu\}$.
Por ejemplo, aquí es una compleja trama de la función $|\nu=3,l=1\rangle$ estado:
Aquí está una parcela de la $|\nu=6,l=0\rangle$ estado:
Y aquí es una parcela de la $|\nu=7,l=3\rangle$ estado:
Las parcelas se generan en un espacio de color de Tono, con el brillo proporcional a la amplitud, y el color cíclicamente codificados de acuerdo con el ángulo de fase en el plano complejo.
Con la excepción de cero vibracional momento angular de los estados, es visualmente evidente que ninguno de los wavefunctions puede ser representada como una función real multiplicado por una fase factor de $e^{i\alpha}$. Esperamos que usted encuentre esta suficiente como un ejemplo de que un sistema tiene estados estacionarios que no son trivialmente de valores complejos. Estoy seguro de que hay un montón de otros ejemplos de casos en donde el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger tiene eigenbases que se trivial de valores complejos, pero este es el primer ejemplo que se me vino a la mente.
Giórgenes
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Antes de comenzar, permítanme ser pedante y definir la frase "real hasta una fase general." Voy a decir una función de $f(x)$ es real hasta una fase general si puedo encontrar un número real $\alpha$ tal que $e^{i\alpha}f(x)$ es real en todas partes. [Por cierto, tenga en cuenta que si una función de onda es real, hasta un total de fase, es también imaginario hasta una fase general].
Ahora que hemos establecido que la terminología, afirmo que la cuestión de si o no la función de onda es real hasta una fase debe ser considerada en dos casos:
- Si la energía eigenfunction $\Psi(x)$ se asocia con un no-degenerada de energía autovalor será real hasta una fase general.
- Si la energía eigenfunction $\Psi(x)$ vive en la energía subespacio propio asociado con un degenerado energía autovalor se genéricamente ser complejo. Aunque no siempre será especial funciones propias de vivir en este espacio que son reales hasta una fase general, el general eigenfunction es compleja y no se limita a la "real subespacio" sin perder la capacidad de describir algunos de los sistemas físicos.
Los ejemplos que dio (la partícula en una caja, oscilador armónico) entran en caso 1: no hay degenerados de los niveles de energía, por lo que las funciones propias son reales hasta una fase general. Sin embargo, me puede fácilmente dar ejemplos físicos que caen bajo el caso 2 (y lo haré más adelante, y DumpsterDoofus y DarenW ya lo han hecho).
Antes de entrar en algún detalle sangriento, solo debo decir que si o no la función de onda es real hasta una fase general es algo irrelevante, físicamente hablando. Usted debe pensar en la función de onda como un complejo de valores de cantidad. Por ejemplo, si el estado es un impulso eigenfunction--que es el caso de los aceleradores de partículas, los cuales miden los impulsos de las partículas de forma muy precisa, entonces la función de onda es compleja $e^{ipx}$ y no es ciertamente real, hasta un total de fase. En algunos casos sucede que la función de onda es real hasta una fase general, pero esto es francamente algo de matemática accidente y no tiene interesantes consecuencias físicas. Ciertamente, usted no debe hacer el salto de la "existen funciones de onda que son reales hasta un total de la fase" a "todas las situaciones físicas puede ser descrito por una función de onda que es real, hasta un total de fase".
Con esto dicho, vamos a discutir el caso 1. Estamos buscando funciones propias $\psi(x)$ que obedecer la energía de la ecuación [de trabajo en la posición de la representación] \begin{equation} \hat{H}\psi=E\psi \end{equation}
donde $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)$ es el operador Hamiltoniano.
Desde el Hamiltoniano debe ser un hermitian operador, tenemos que $(\hat{H}f)^*=\hat{H}f^*$ para cualquier función de $f(x)$. Mientras tanto, $E=E^*$ desde $\hat{H}$ es hermitian por lo que tiene real de los autovalores.
Como resultado, $\psi^*(x)$ es también un eigenfunction de $\hat{H}$ con autovalor $E$.
Sin embargo, estamos suponiendo que la energía autovalor $E$ es no degenerada. En otras palabras, no es sólo uno de los eigenfunction con autovalor $E$, hasta un total de factor. Así que debe ser que hay algo de $\lambda$ tal que
\begin{equation} \psi(x)=\lambda \psi^*(x) \end{equation}
Claramente esta ecuación sólo es consistente si $|\lambda|=1$, por lo que podemos escribir $\lambda=e^{-2 i\alpha}$ real $\alpha$ sin pérdida de generalidad. Pero, a continuación, $\psi(x)$ es real, hasta un total de fase, debido a que $\phi(x)=e^{i\alpha}\psi(x)$ obedece a $\phi(x)=\phi^*(x)$.
Que establece el caso 1.
Antes de pasar al caso 2 es interesante ver por qué la partícula en una caja cae por debajo de este caso.
El hamiltoniano de una partícula en una caja, es el mismo que el hamiltoniano de una partícula libre \begin{equation} \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}, \end{equation} con las condiciones de frontera \begin{equation} \psi(0)=\psi(L)=0. \end{equation} Desde el hamiltoniano es el mismo que para una partícula libre el eigenfunction debe tener la forma \begin{equation} \psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx} \end{equation} donde $A$ $B$ son coeficientes complejos. Se puede ver que la solución general no es real, hasta un total de fase! Esto es porque hay DOS soluciones con energía $E$: una es $e^{ikx}$ y la otra es $e^{-ikx}$. Es sólo después de imponer la "partícula en una caja" de las condiciones de contorno que nos encontramos con que el eigenfunction debe tener la forma $\psi(x)=N\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)$. Las condiciones de frontera esencialmente "proyecto" una de las dos funciones propias con el nivel de energía $E$. Nos quedamos con uno linealmente independientes solución que puede satisfacer las condiciones de frontera, y por el argumento general me dio por encima de este eigenfunction tiene que ser real. (Y, de hecho, explícita cálculo de la muestra es--es la función seno). Si quieres entrar en más detalles acerca de esta parte, yo estaría feliz de actualización de la respuesta para ser más precisos.
La 1D de oscilador armónico es ligeramente diferente. Hay dos soluciones para una energía dada autovalor $E$. Sin embargo, sólo uno de ellos será normalizable. Así, para cada nivel de energía $E$ sólo hay 1 energía eigenfunction, y por lo tanto este eigenfunction es real hasta una fase general.
OK, el caso 2. Es fácil ver que, en general, un miembro de un degenerado espacio propio no ser real. $\psi(x)$ $\psi^*(x)$ todavía están ambas soluciones desde $\hat{H}$ es hermitian. Sin embargo, no hay razón por la que $\psi(x)=\lambda\psi^*(x)$.
Aún más al punto, ya que la energía subespacio propio es degenerado esto significa que hay al menos dos distintas, ortogonal de funciones propias $\psi(x), \phi(x)$ que tienen la misma energía $E$. Cualquier combinación lineal de ellos también tienen la energía $E$. Así que es muy fácil construir un complejo de energía eigenfunction que viven en este subespacio, incluso si $\psi$ $\phi$ pasar a ser real: acabo de tomar $a \psi+b\phi$ con complejo de $a,b$.
Por otro lado también es fácil ver que no siempre son especiales funciones propias en el espacio propio que son reales. Por ejemplo, $\psi(x)+\psi^*(x)$ es real.
Es útil para dar un ejemplo. Un buen ejemplo es en realidad la partícula en un periódico de caja. Esto es igual que la de la partícula en una caja en la que el Hamiltoniano es el mismo que para una partícula libre. Sin embargo, en lugar de imponer las condiciones de contorno $\psi(0)=\psi(L)=0$ vamos a imponer las condiciones de contorno periódicas \begin{array} \ \psi\left( 0 \right)&=&\psi \left( L \right) \\ \psi'\left(0\right)&=&\psi'\left(L\right) \end{array} donde $\psi'(x)=d\psi/dx$.
Estas condiciones de contorno son apropiados en muchas situaciones, por ejemplo:
- Los electrones en un sólido experiencia periódico condiciones por el periódico la naturaleza de un cristal
- En extra dimensional de los modelos en la dimensión extra es compacto, la función de onda tiene que ser periódica
- Si usted trabaja en coordenadas polares en 2D o esférica coordenadas en 3D, el ángulo de $\theta$ obedecerá periódico de las condiciones de contorno
Comenzando con la solución general $\psi(x)=A e^{ikx}+Be^{-ikx}$, las condiciones de contorno de la cantidad a la sola condición de $e^{ikL}=1$, lo $k=2\pi n/L$ (que cuantiza la energía de los niveles). Fundamentalmente, las condiciones de frontera no imponen condiciones sobre los coeficientes $A$$B$. Así que para cualquier nivel de energía permitido $E$, hay DOS funciones propias de la energía. Así, en general, un estado con energía $E$ no es real hasta una fase general.
Hay dos estados de ahorro de energía con $E$ que son reales. Son \begin{equation} \psi_c(x)=\frac{1}{2}\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)=\cos kx, \psi_s(x)=\frac{1}{2i}\left(e^{ikx}-e^{-ikx}\right)=\sin kx \end{equation} Sin embargo no hay ninguna razón para pensar que la naturaleza se "prefiere" estos estados sobre otros posibles estados con la misma energía con complejo de valores de las funciones de onda. Si establecemos un periódico de la partícula en una caja en el laboratorio y se fija la energía a $E$, en general tendríamos un estado que no era $\psi_s$ o $\psi_c$.
Como ya he dicho, hay muchos ejemplos interesantes que caen bajo el caso 2. Otro es el 2D oscilador armónico, con $V(x,y)=m\omega^2(x^2+y^2)$. En general, como usted va a dimensiones mayores que 1, la solución de los problemas tienden a tener autovalores degenerados. Así que a pesar de empezar con los ejemplos que son de la forma del caso 1, usted debe esperar para ver muchos más ejemplos en el caso 2 como se puede avanzar en la mecánica cuántica.
akhmeteli
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zkent
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En una dimensión, una ejecución de onda, como la ecualización. (2) en esa pregunta. No hay más que uno puede hacer en 1D que no sale parecer artificial.
En dos dimensiones, un buen ejemplo es una circular de la caja, o cualquier esféricamente simétrica potencial. La función de onda puede ser escrita como radial factor veces un factor angular. El angular factor puede ser una combinación lineal de $\sin(n\theta)$ $\cos(n\theta)$ o, equivalentemente, de $\exp(i n \theta)$$\exp(-i n \theta)$. Estos últimos son más agradables de tratar en términos de valores y angular momenta. Es la misma como en 3D, sin la 'z', así que vamos a ir allí.
En tres dimensiones, en la física atómica, la 'm' número cuántico de los orbitales. Usted puede tener un electrón, por ejemplo, una combinación de $2p_x$, $2p_y$, y $2p_z$ orbitales, o puede utilizar $2p_+$ $2p_-$ y $2p_z$ donde $2p_\pm = 2p_x \pm i2p_y$. (del mismo modo que para n=3, 4, ... y combinaciones similares para el d, f ...) El $\pm$ orbitales son mejores cuando se trata con los campos magnéticos, acoplamiento spin-órbita, la conservación del momento angular en la dispersión, y así sucesivamente.
