Muestran que

Question

Considere una función$f$ en número entero no negativo tal que$f(0)=1,f(1)=0$ y$f(n)+f(n-1)=nf(n-1)+(n-1)f(n-2)$ para$n \geq 2$. Demostrar que$$\frac{f(n)}{n!}=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$ $

En este caso$$f(n)+f(n-1)=nf(n-1)+(n-1)f(n-2)$ $$$\implies f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))$ $ Entonces estoy atascado.

Answer 1

Deje$$ g(n) = \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!}{k!} \tag{1} $ $ continuación \begin{align} g(n) &= \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!}{k!} \\ &= n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{(n-1)!}{k!} + (-1)^n\frac{n!}{n!} \\ \\ \\ &= ng(n-1)+(-1)^n \\ \\ &= (n-1)g(n-1) +g(n-1)+(-1)^n \\ &= (n-1)g(n-1)+\Big((n-1)g(f-2)+(-1)^{n-1}\Big) + (-1)^n\\ &= (n-1)g(n-1) + (n-1)g(n-2) \end {align} por lo que para cualquier función$g$ que cumpla$(1)$ tenemos que$$ g(n)+g(n-1)=ng(n-1)+(n-1)g(n-2) $ $ y con$g(0) = 1 = f(0)$,$g(1) = 0 = f(1)$ Concluimos $g \equiv f$.

¡Aclamaciones!

Answer 2

$f(n)+f(n-1)=nf(n-1)+(n-1)f(n-2)\implies f(n)-nf(n-1)=-(f(n-1)-(n-1)f(n-2))$

Deje$D(n)=f(n)-nf(n-1)$, entonces, la relación anterior se convierte,

$D(n)=-D(n-1)=(-1)^2D(n-2)=\cdots=(-1)^{n-1}D(1)=(-1)^n$ (porque $D(1)=f(1)-f(0)=-1$)

Por lo tanto,$$D(n)=(-1)^n\implies f(n)=nf(n-1)+(-1)^n=n!(\frac{f(n-1)}{(n-1)!}+\frac{(-1)^n}{n!})$ $

ps

Continuando de esta manera da

ps

$$=n((n-1)f(n-2)+(-1)^{n-1})+(-1)^n=n!(\frac{f(n-2)}{(n-2)!}+\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{(-1)^n}{n!})$

Por lo tanto, demostrado.

Answer 3

$f(n)=(n-1)\{f(n-1)+f(n-2)\}$ para $n\geq 2$

Deje de$n\in\mathbb N,~S_n:\frac{f(n)}{n!}=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.$

Es una cuestión de simple verificación de que$S_0,~S_1$ son ciertas.

Deje$S_n$ es cierto$\forall~n\leq m~(\in\mathbb N).$ A continuación,

$\dfrac{f(m+1)}{(m+1)!}$

$=\dfrac{m\{f(m)+f(m-1)\}}{(m+1)!}$

$=\dfrac{m}{m+1}.\dfrac{f(m)}{m!}+\dfrac{1}{m+1}.\dfrac{f(m-1)}{(m-1)!}$

$=\dfrac{m}{m+1}\sum_{k=0}^m\dfrac{(-1)^k}{k!}+\dfrac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{(-1)^k}{k!}$

$=\dfrac{m+1-1}{m+1}\sum_{k=0}^m\dfrac{(-1)^k}{k!}+\dfrac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{(-1)^k}{k!}$

$=\sum_{k=0}^m\dfrac{(-1)^k}{k!}-\dfrac{1}{m+1}\{\sum_{k=0}^m\dfrac{(-1)^k}{k!}-\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{(-1)^k}{k!}\}$

$=\sum_{k=0}^m\dfrac{(-1)^k}{k!}-\dfrac{1}{m+1}.\dfrac{(-1)^m}{m!}$

$=\sum_{k=0}^m\dfrac{(-1)^k}{k!}+\dfrac{(-1)^{m+1}}{(m+1)!}$

$=\sum_{k=0}^{m+1}\dfrac{(-1)^k}{k!}$

$\implies S_{m+1}$ es verdad. Por lo tanto, por el principio de inducción matemática el resultado sigue.