Un grupo de isomorfismos lineales de$\mathbb C^n$ debe tener un subespacio invariante

Question

Deje$G$ sea un grupo finito que actúa de forma lineal en$\mathbb C^n$, y supongamos que$|G| < n^2$. Estoy tratando de mostrar que hay un subespacio invariante distinto de cero$W\subset\mathbb C^n$, es decir,$g(w) \in W$ #%% cada vez que #%.

Yo sé que si hay un$w\in W$ con$x\in \mathbb C^n$, entonces la envolvente lineal de$\sum_{g\in G} g(x) \not=0$ es el subespacio deseada. Sin embargo, no estoy seguro de cómo producir un$x$ tal, o si esto es la manera correcta de ir sobre el problema. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Es una propiedad elemental de grupos finitos que la suma de los cuadrados de las dimensiones de las representaciones irreducibles es igual al orden del grupo. (Considere la descomposición de la representación regular). Desde aquí$|G| < n^2$, esta representación no puede ciertamente ser irreductible, por lo que por definición no es un subespacio invariante. (De hecho, vemos que el resultado es válido para$|G| = n^2$, así, siempre y cuando$n>1$, ya que siempre hay la representación trivial).

Answer 2

Cada sencilla$G$ - módulo es de dimensión a lo sumo$|G|$, por lo que su$\mathbb C^n$ no puede ser simple.