Los pares ordenados de enteros$(x,y)$ que satisfacen$x!\cdot y! = x!+y!+2$

Question

Encontrar el número total de pares ordenados$(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ que satisfagan

$$ \ Etiqueta 1 x! Y! = X! Y! 2 $$

Mi intento:

Podemos escribir$(1)$ como

$$ \begin{align} x!y!-x!-y!+1 &= 3\\ \left(x!-1\right)\left(y!-1\right) &= 3=1\times 3 = 3\times 1 \end {Align} $$

Por lo tanto, sin pérdida de generalidad,$(x!-1)=1$ y$(y!-1)=3$, lo que implica que$x!=2$ y$y!=4$. Pero no hay ninguna$y\in\mathbb{Z}$% tal que $y!=4$. Por lo tanto hay pares ordenados$(x,y)\in\mathbb{Z^2}$ existe que satisfacen la ecuación dada.

¿Es correcta esta solución? Si no es así, ¿por qué no?

Answer 1

Parece correcta.

Otra forma de probar esto podría ser decir que su ecuación original implica$x!y!-x!-y!=2$ y que si sin pérdida de generalidad$x \leq y$, entonces el lado izquierdo es divisible por$x!$ (debido a que los tres términos son), mientras que el lado derecho (2) sólo es divisible por$x!$ if$x=1$ o$x=2$, lo que tanto fácilmente dar lugar a una contradicción.

Answer 2

Aquí es otra prueba:

Suponga$x\geq y\geq 3$. Entonces tenemos$$x!\,y!\geq x!\,3!>3\cdot x!=x!+x!+x!>x!+y!+2$$ The cases $ 0 <x, y <3 $ se comprueban con la mano.