Demostrar que un conjunto no es medible por Lebesgue

Question

Busco un conjunto no medible. He encontrado un conjunto que estoy casi seguro de que no es medible, pero no puedo demostrarlo. Primero definimos $f:[0,1]\to [0,9]$ por $$f(0.a_1a_2a_3...)=\begin{cases}\lim_{n\to\infty}(1/n\sum_{i=1}^n a_i) &\text{if the limit exists } \\0 &\text{if the limit does not exist}\end{cases}$$ Esto significa que $f$ da el valor medio de los decimales, por ejemplo $f(1/3)=3$ y $ f(1/7)=4.5$ Observación: si un número tiene 2 representaciones decimales ( $0.2$ y $0.1999...$ ) definimos $f(x)=0$ para evitar problemas.

Ahora definimos $$A=\{x\in[0,1]:f(x)=4.5\}$$ Estoy convencido de que ambos $A$ y $A^c$ tienen una medida exterior de $1$ y, por tanto, no son medibles, pero no puedo demostrarlo. Esto es lo que me hace creer que su medida exterior es $1$ :

Para $A$ :

- $A$ es incontable (necesario para una medida no nula)

- $A$ es denso (necesario para una medida externa de $1$ ) prueba: podemos tomar los primeros n decimales como queramos, y hacer que el límite converja a 4,5 alternando 4's y 5's (por ejemplo para encontrar un número en $A$ entre 0,2 y 0,201 podemos tomar 0,20454545...)

-Podemos elegir la mitad de los decimales (es decir $a_1,a_3,...$ ) de un número como queramos, y luego elegimos los otros para asegurarnos de que el número está en $A$ . Esto implica $A$ es incontable, pero es mucho más fuerte. Prueba: basta con hacer $a_{2k}+a_{2k+1}=9$

-Si tomamos un número al azar (es decir, eligiendo $a_1,a_2,...$ al azar), tenemos una probabilidad de $1$ que este número está en $A$ lo que significa que "casi todos los números" están en $A$ .

Para $A^c$ :

- $A^c$ es incontable

- $A^c$ es denso. Prueba: los números con representación decimal finita son densos en $[0,1]$ y no en $A$

-Podemos elegir cualquier proporción no 1 de los decimales como queramos y seguir asegurando que el número no está en $A$ . Por ejemplo, podemos establecer todos los decimales $a_k$ tal que $k\neq 0$ mod n, y cambiar sólo los decimales $a_k$ tal que $k=0$ mod n, y asegúrese de que el número no está en $A$ . Esto significa que puede elegir "casi todos los decimales" como desee, y $A^c$ debe ser "muy grande". Prueba: establece todos los decimales que puedes modificar en $0$ . Si el número no está en $A$ has terminado. Si el número está en $A$ , establece todos los decimales que puedes modificar en $1$ . Como esta proporción no era $0$ , usted ha incrementado $f(x)$ por lo que ya no es igual a $4.5$ y el número no está en $A$ .

Que son todas las propiedades de $A$ y $A^c$ que puede ser importante para la medida exterior que he podido encontrar. Para las aproximaciones de la medida exterior, sólo tengo las propiedades triviales de que son como máximo $1$ y su suma es al menos $1$ .

¿Puede alguien probar o refutar el hecho $A$ ¿se puede medir? ¿O puede alguien encontrar un mejor límite superior/inferior para las medidas externas de $A$ y $A^c$ ?

Gracias por tu ayuda, y si no entiendes mis anotaciones o afirmaciones, no dudes en preguntar, sé que puede no estar todo muy claro.

Answer 1

El conjunto $A$ que usted describe es medible con medida $1$ . Esto se deduce de las siguientes consideraciones:

1. Una forma de elegir un número uniformemente al azar del intervalo $[0,1]$ es elegir cada uno de sus dígitos al azar del conjunto $\{0,1,\ldots,9\}$ . Es decir, la función $$ f\colon \{0,9\}^\omega \to [0,1] $$ que mapea cada secuencia $(a_1,a_2,\ldots)$ al número $0.a_1a_2\ldots$ es preservador de la medida.

2. Para una secuencia elegida al azar del conjunto $\{0,1,\ldots,9\}$ la secuencia de medias muestrales converge a $4.5$ con una probabilidad de $1$ . Este es un caso especial del ley de los grandes números .

Así, $f^{-1}(A)$ tiene medida $1$ en $\{0,1,\ldots,9\}^\omega$ por la afirmación (2), que demuestra que $A$ tiene medida $1$ en $[0,1]$ por la declaración (1).