El $a^{2} + b^{7} + c^{13} + d^{14} = e^{15}$ de la ecuación tiene una solución en números enteros positivos

Question

El $a^{2} + b^{7} + c^{13} + d^{14} = e^{15}$ de la ecuación tiene una solución en números enteros positivos

Como capitán, No puede ver cómo atacar este :(

Answer 1

Dado, $$a^{2} + b^{7} + c^{13} + d^{14} = e^{15}\tag1$ $

Asumir $a=4^{182x},\;b=4^{52x},\;c=4^{28x},\;d=4^{26x},\;e=4^{y}$. Sustituir en $(1)$ llegar, $$4^{364x+1}=4^{15y}\tag2$ $

que es true if, $$364x+1=15y\tag3$ $

La última ecuación tiene soluciones de la forma

$$x=11+15n\\y=267+364n$$

Así la ecuación $(1)$ tiene infinitamente muchas soluciones, una más simple usando $n=0$,

$$(a,b,c,d,e)=(4^{2002},4^{572},4^{308},4^{286},4^{267})$$

Answer 2

Por favor, ser amable con mi intento de una solución y quiero saber donde he ido mal.

Usando el método descrito por @Aditya Narayan Sharma, $$a^{2} + b^{7} + c^{13} + d^{14} = e^{15}\tag1$ $

Poner $a=2^{91x},\;b=2^{26x},\;c=2^{14x},\;d=2^{13x},\;e=2^{y}$. (1) se convierte, $$2^{182x}+2^{182x}+2^{182x}+2^{182x}=2^{15y}$ $ $$4*2^{182x}=2^{15y}$ $ % $ de $$2^{182x+2}=2^{15y}\tag2$, $$182x+2=15y$ % $ $$182x-15y=-2\tag3$$ dar, $$x=14+15n$ $ $$y=170+182n$ $

Utilizando $n=0$,

$$(a,b,c,d,e)=(2^{1274},2^{364},2^{196},2^{182},2^{170})$$

Answer 3

En caso de que alguien está considerando un enfoque de fuerza bruta, si permitimos que cero $(a,b,c,d)$ hay soluciones de $36$ $7.9E+28$.

$$(a,b,c,d,e)=(p^{15},0,0,0,p^2)\tag1$$

$$(a,b,c,d,e)=(pq^7,q^2,0,0,q):q=p^2+1\tag2$$

$$(a,b,c,d,e)=(pq^7,0,0,q,q):q=p^2+1\tag3$$

$$(a,b,c,d,e)=(pr^7,r^2,0,r,r):r=p^2+2\tag4$$

Actualizado 03 de marzo de 2017 para corregir error tipográfico en los valores de $a$.