Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico, cuya métrica $d$ no se conoce.
Dejemos que $G=(f,\circ)$ sea su grupo de isometrías (es decir, funciones que preservan la distancia $f:X\rightarrow X$ con la habitual composición de funciones como operación de grupo).
Es $d$ especificado de forma única por $G$ ?
Si la respuesta es afirmativa: ¿cómo podemos conocer explícitamente la forma de $d$ de $G$ ?
Si la respuesta es negativa: ¿bajo qué supuestos simplificadores se $d$ ser especificado por $G$ ?
No. Si $d$ es una métrica, entonces también lo es $d/(1+d)$ . Es probable que haya muchas otras funciones además de $x\mapsto x/(1+x)$ que podría componerse con una métrica para producir otra métrica.
Así que lo mejor que se puede esperar es que dos métricas con las mismas isometrías estén relacionadas por composición con alguna función. Si eso es cierto o no, no lo sé.
Tal vez me esté perdiendo algo, pero ¿tiene este nuevo espacio métrico las mismas isometrías que el antiguo?
Claro, porque no sólo la nueva métrica está en función de la original, sino que la original está en función de la nueva.
Ah, y por cierto, espero que para muchos espacios métricos, el grupo de isometría sea trivial. Eso hace que el grupo de isometría sea un determinante bastante pobre de la métrica.
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Imagina $n$ puntos en un espacio euclidiano suficientemente alto, todos equidistantes entre sí, y luego poner $k$ más puntos en "lugares aleatorios" para que no haya dos que tengan las mismas distancias a la $n$ puntos. Entonces, para cualquier $k$ el grupo de isometrías $G$ será $S_n$ .