Demostrar que existe $f,g : \mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $f(g(x))$ es estrictamente creciente y $g(f(x))$ es estrictamente decreciente.
He tratado casos tomando $f(x)$ como una función creciente y $g(x)$ como una función decreciente entonces estoy poniendo ambos $f(g(x))$ $g(f(x))$ como disminución de funciones. Además llevé tanto de ellos como el aumento de funciones, pero ninguno de ellos está dando resultados. Ayuda
Aquí es una construcción que utiliza el axioma de elección. No estoy seguro de si se puede evitar.
Deje $p$ ser un aumento de mapa de ${\mathbb R} \to \mathbb R$ tal que $p(0)=0$ $0$ es el único punto fijo de cualquier iteración de $p$ (por ejemplo, $p(x)=2017x$ va a hacer).
Vamos también a $q$ ser una disminución en el mapa de ${\mathbb R} \to \mathbb R$ tal que $q(0)=0$ $0$ es el único punto fijo de cualquier iteración de $q$ (por ejemplo, $q(x)=-2017x$ va a hacer).
La recorre de $p$ formar un grupo en la composición y que se llame a $P$. A continuación, $P$ actúa en ${\mathbb R}^*$. Por el axioma de elección, no es una transversal $T_p\subseteq {\mathbb R}^*$ que contiene exactamente un elemento de cada órbita, a continuación, el mapa de ${\mathbb Z} \times T_p \to {\mathbb R}^*, (k,x)\mapsto p^k(x)$ es bijective.
Del mismo modo, hay un $T_q\subseteq {\mathbb R}$ tal que ${\mathbb Z} \times T_q \to {\mathbb R}^*, (k,x)\mapsto q^k(x)$ es bijective.
Por un conocido resultado de la cardinalidad de la teoría, ya que $T_q$ $\mathbb Z$ son infinito e $|T_q|>|{\mathbb Z}|$,$|{\mathbb Z} \times T_q|=|T_q|$. De ello se desprende que hay una bijective mapa de $b:T_q \to T_p$.
Ahora, definir $f$ $f(0)=0$ y para un valor distinto de cero $r$, decir $r=q^{k}(t)$$t\in T_q$, puesto $f(r)=p^{k}(b(t))$. Del mismo modo, definen $g$ $g(0)=0$ y para un valor distinto de cero $r$, decir $r=p^{k}(b(t))$$t\in T_q$, puesto $g(r)=q^{k+1}(t)$.
Por construcción, entonces se ha $f\circ g=p$$g\circ f=q$.
Para satisfacer los estrictos monotonía en los materiales compuestos, tanto de funciones debe ser inyectiva (1-a-1). Sin embargo, para el producto opuesto a la monotonía, $f$ $g$ debe ser discontinua en todas partes, ya que incluso un corto tramo de la monotonía comportamiento se produce el mismo comportamiento en ambas composiciones.
También, aunque esto es menos cierto, ya que $f \circ g$ $g\circ f$ son estrictamente monótona, son continuas en casi todas partes. Así que básicamente tenemos que desmontar el verdadero número de la línea en los puntos y, a continuación, volver a montar.
Esto indica que debemos tener algo como funciones que dividir por ej. los números racionales e irracionales en un aparentemente caótico de la moda. Sin embargo, al final creo que esto va a ser una prueba de la existencia más que demostrado ejemplo.
Imposible. (Suponiendo que los dominios y los rangos de ACEPTAR y que las funciones involucradas son derivable y que no tiene puntos de inflexión. [Puntos de inflexión con un valor distinto de cero la pendiente son permitidos sin embargo.])
En orden para $f(g(x))$ a ser estrictamente creciente necesitamos que la derivada respecto de $x$ ser positivo
$$f(g(x))'= f'(g(x))g'(x)>0.$$
Por tanto, $f'(g(x)$ $g'(x)$ tiene que ser positivo xor negativo.
En orden para $g(f(x))$ a ser estrictamente decreciente tenemos que la derivada respecto de $x$ ser negativo. $$g(f(x))'= g'(g(x))f'(x)<0.$$
Uno de los componentes tiene que ser negativo y el otro tiene que ser positivo, pero no el mismo signo al mismo tiempo.
Anteriormente hemos solicitado lo contrario.
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