Sobre la irracionalidad de logaritmo natural

Question

¿Hay cualquier número racional $r$ tales que ln (r) es racional también?

Si es así, ¿qué es la prueba?

Si las pruebas son demasiado largas para ser encuentra una respuesta aquí, realmente agradezco cualquier referencia fácil de entender para estudiarlos.

Answer 1

Además de $r=1$, no. Para demostrarlo, supongamos que hemos tenido un ejemplo. Entonces escribimos $$\frac mn=e^{\frac ab}\implies e^a=\left( \frac mn \right)^b$$ But, with $a\neq 0 $ this would tell us that $e$ era algebraica, que no es el caso.