Demuestra que la suma de los triples pitagóricos es siempre par

Question

Problema : Dado $a^2 + b^2 = c^2$ mostrar $a + b + c$ es siempre uniforme

Mi intento , Análisis caso por caso :

Caso 1: a es impar, b es impar. De la primera ecuación,

$odd^2 + odd^2 = c^2$

$odd + odd = c^2 \implies c^2 = even$

Elevar al cuadrado un número no cambia su congruencia mod 2.

Por lo tanto, c es par

$ a + b + c = odd + odd + even = even$

Caso 2: a es par, b es par. Similar al anterior

$even^2 + even^2 = c^2 \implies c$ es incluso

$a + b + c = even + even + even = even$

Caso 3: Uno de a y b es impar, el otro es par Sin pérdida de generalidad, etiquetamos a como impar, y b como par

$odd^2 + even^2 = c^2 \implies odd + even = c^2 = odd$

Por lo tanto, c es impar

$a + b + c = odd + even + odd = even$

Hemos agotado todos los casos posibles, y cada uno muestra $a + b + c$ es par. QED

Seguimiento : ¿Existe una prueba que no se base en el análisis caso por caso? ¿Se puede escribir lo anterior de forma más sencilla?

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^2\equiv x\pmod 2$ y por lo tanto $a^2+b^2=c^2$ implica $$a+b+c\equiv a^2+b^2+c^2\equiv 2c^2\equiv 0\pmod 2$$

Answer 2

También, Triples pitagóricos tienen una estructura bien definida: $$a=k(m^{2}-n^{2}),\ \,b=k(2mn),\ \,c=k(m^{2}+n^{2})$$ y $$a+b+c=2k(mn+m^2)$$

Answer 3

Sugerencia

Escriba $a+b+c=k$ Así que

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab= (k-c)^2-2ab=c^2 → k^2-2(kc+ab)=0→k^2=2(kc+ab)$$

Answer 4

Observe que $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=2c^2+2(ab+bc+ac)$ por lo que el cuadrado de $a+b+c$ es par y por lo tanto $a+b+c$ también es par.

Answer 5

$c^2 = a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ .

$2ab = (a+b)^2 - c^2$

$2ab = (a+b+c)(a+b-c)$

Dejemos que $n = a+b+c$ y lo anterior se convierte en:

$2ab = n(n-2c)$

Así que el lado derecho debe ser par, pero como $n-2c$ es impar cuando $n$ es impar, $n$ debe ser uniforme.