¿Puedo llamar a las condiciones adicionales de los potenciales una elección de Gauge?

Question

Digamos que tengo un problema de electromagnetismo en un medio espacialmente variable. Después de imponer las ecuaciones de Maxwell, la elección del gauge de Lorenz, las condiciones de contorno y la condición de radiación de Sommerfeld, sigo teniendo más incógnitas que ecuaciones y la solución para (digamos) el potencial vectorial magnético no está determinada de forma única por lo anterior. Esto ocurre realmente cuando se formulan las ecuaciones en medios estratificados en el dominio de las ondas planas / Fourier. La forma de proceder que he visto es elegir que una de las componentes cartesianas del potencial vectorial sea cero, es decir, imponer una de las siguientes como condición adicional para asegurar la unicidad de los potenciales: $A_x=0$ , $A_y=0$ ou $A_z=0$ . Por supuesto, podríamos inventar un número infinito de otras condiciones que dejen los campos invariantes.

Mi pregunta es, ¿puedo llamar a la anterior elección arbitraria sobre el potencial vectorial una "elección gauge"? La razón para imponerlo parece ser idéntica a las razones por las que normalmente imponemos el gauge de Lorenz o de Coulomb, es decir, que las ecuaciones de campo no dictan nada sobre ciertas cantidades de potencial, la elección hace posible la resolución de las ecuaciones de forma única, y la física $\mathbf{E},\mathbf{H}$ son invariantes a la condición extra de los potenciales.

Answer 1

Configurar $A_z = 0$ se suele denominar "calibre axial". (La elección del $z$ -la dirección es arbitraria, por supuesto). Esta es una condición gauge perfectamente válida, y se utiliza mucho en QCD.

Sin embargo, no creo que tenga sentido en general imponer simultáneamente el gauge de Lorenz y el gauge axial. Se trata de demasiadas restricciones; matarás grados de libertad físicos. Sin embargo, en situaciones específicas, puede ser que tus condiciones de contorno estén imponiendo realmente estas restricciones, por lo que imponerlas accidentalmente por segunda vez con la condición gauge no causa ningún daño. Es difícil decir más sin saber exactamente lo que estás haciendo.

¿Es posible que no se haya tenido en cuenta la restricción secundaria implícita en la elección del calibre?

Answer 2

Según tu comentario al usuario1504, tienes razón: el indicador de Lorenz contiene una considerable arbitrariedad.

A saber, supongamos que los potenciales $\Phi, \boldsymbol{A}$ satisfechos:

$$ \nabla^2 \Phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = - 4 \pi \rho $$

$$ \nabla^2 \boldsymbol{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} = - \frac{4 \pi}{c} \boldsymbol{J} $$

$$ \boldsymbol{\nabla \cdot A} + \frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0 \quad \text{ (Lorenz condition)}$$

Entonces, si $ \Lambda $ es un escalar que satisface la ecuación de onda: $$ \nabla^2 \Lambda - \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 \Lambda}{\partial t^2} = 0 $$ el transformación gauge restringida (restringido debido a la condición de $\Lambda$ ): $$ \boldsymbol{A} \rightarrow \boldsymbol{A} + \boldsymbol{\nabla} \Lambda \quad, \quad \Phi \rightarrow \Phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \Lambda}{\partial t}$$

preserva la condición de Lorenz.

¡Atención! Este análisis se aplica en el vacío. La extensión a un medio homogéneo e isotrópico parece sencilla, pero para un fondo espacialmente variable como el que planteas, no sé...

Answer 3

Sólo puedes hacer la elección del calibre $A_z=0$ si para cualquier potencial dado puedes ponerlo a 0 como resultado de una transformación Gauge, una transformación que no cambia el Lagrangiano (o más bien la acción - o las ecuaciones de Maxwell en tu pregunta, que son las ecuaciones de movimiento de algún Lagrangiano). Esto es, sí, una forma más complicada de decir que podemos cambiar los potenciales mientras los campos no cambien. Las simetrías de la Lagrangiana forman un grupo de Lie, que para EM es U(1). La adición de la divergencia de un escalar añade un término de frontera a la acción que desaparece para los potenciales físicos.

En el caso del electromagnetismo, resulta que añadiendo divergencias escalares podemos eliminar dos grados de libertad y quedarnos con dos (no estoy muy seguro de cómo demostrarlo conociendo el grupo de Lie, si alguien puede ampliarlo aquí sería genial). Estos son transversales en la galga de radiación, pero podemos matarlos como queramos. En la materia, estoy bastante seguro de que no se puede acabar con los DOF longitudinales. Seguirá habiendo sólo dos DOF pero una mezcla diferente de $\Phi,A_x,A_y$ y $A_z$ es decir, dos restricciones en los 4 DOF.