¿Es $x_1\cdot x_2\cdots x_n$ notación adecuada?

Question

En un libro recientemente vi la notación $$x_1\cdot x_2\cdots x_n$$ lo que pretendía decir $\prod\limits_{i=1}^nx_i$. Esto es poco apetecible para mí porque, por ejemplo, no se puede escribir $$x_1+x_2\cdots x_n,$$ pero en lugar $$x_1+x_2+\dots+x_n.$$

Por otro lado, no parece ser una buena alternativa ya que ninguno de los siguientes son particularmente sabroso - $$x_1\cdot x_2\cdot\dots\cdot x_n$$ $$x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n$$

Esto lleva a la pregunta:

Es $x_1\cdot x_2\cdots x_n$ la adecuada notación a pesar de ser inconsistente, o existe alguna otra forma aceptada de la utilización de puntos en conjunción con \cdot?

Answer 1

De la $\mathrm{\TeX book}$ (Capítulo 18: los Puntos Finos de Matemáticas de Escribir, pg. 172):

En general, es mejor usar \cdots entre $+$ $-$ $\times$ signos, y también entre el $=$ signos o $\leq$ signos o $\subset$ signos u otras relaciones semejantes. Baja puntos se utilizan entre comas, y cuando las cosas se yuxtaponen sin signos entre ellos.

Por ejemplo:

• $x_1+\cdots+x_n$$\qquad x_1+\cdots+x_n$
• $x_1=\cdots=x_n=0$$\qquad x_1=\cdots=x_n=0$
• $A_1\times\cdots\times A_n$$\qquad A_1\times\cdots\times A_n$
• $f(x_1,\ldots,x_n)$$\qquad f(x_1,\ldots,x_n)$
• $x_1x_2\ldots x_n$$\qquad x_1x_2\ldots x_n$
• $(1-x)(1-x^2)\ldots(1-x^n)$$\qquad (1-x)(1-x^2)\ldots(1-x^n)$
• $n(n-1)\ldots(1)$$\qquad n(n-1)\ldots(1)$

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Más de la tipografía: Esto se está poniendo peligrosamente cerca de ser más apropiado para TeX.SÍ, pero aquí lo tienen: Hay un importante caso especial en el cual \ldots y \cdots no dan el espacio correcto, es decir, cuando aparecen al final de una fórmula, o cuando aparecen justo antes de un delimitador de cierre como el de `)'. En tales situaciones, extra finos espacio es necesario. Considere, por ejemplo, frases como estas:

• Demostrar que $(1-x)^{-1}=1+x+x^2+\cdots\,$.
• Claramente $a_i<b_i$ $i=1$,$~2$, $\ldots\,$,$~n$.
• Los coeficientes $c_0$,$~c_1$, $\ldots$,$~c_n$ son positivos.

Para obtener la primera frase (yo personalmente tuve que modificar un par de cosas de arriba porque no se muestre como necesaria, pero lo que sigue es lo Knuth describe en su libro), el autor escribió

Prove that $(1-x)^{-1}=1+x+x^2+\cdots\,$.

Sin el \, el período habría llegado demasiado cerca de la \cdots. Del mismo modo, la segunda frase se escribe así:

Clearly $a_i<b_i$ for $i=1$,~2, $\ldots\,$,~$n$.

Observe el uso de lazos, que previene el mal saltos de línea. Aquí es un ejercicio de Knuth:

Ejercicio: B. C. Aburrido trató de tomar un atajo, escribiendo el segundo ejemplo de esta manera:

Clearly $a_i<b_i$ for~$i=1, 2, \ldots, n$.

¿Qué tiene de malo eso?

Knuth la respuesta:

Explicación: Las comas pertenecen a la sentencia, no a la fórmula; su decisión de poner en modo math significaba que ${\rm\TeX}$ no lo suficientemente grandes espacios después de ellos. Además, su fórmula `$i=1,2,\ldots,n$' permite sin pausas entre las líneas, excepto después de las $=$, por lo que la arriesgando muy lleno los problemas de la caja. Pero supongamos que la frase había sido más breve: $$\text{Clearly $a_i<b_i\quad(i=1,2,\ldots,n)$.}$$, a Continuación, su idea sería básicamente correcta:

Clearly $a_i<b_i$ \ ($i=1,2,\ldots,n$).

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Mis propios pensamientos: me he dado cuenta Knuth del gran consistencia en las convenciones de anotación. Por ejemplo, en TAOCP, el séptimo ejercicio en 1.2.11.2 se lee como sigue:

¿Cuál es el valor aproximado de $1^12^23^3\ldots n^n$?

Es muy obvio Knuth significa $\prod_{i=1}^n i^i$ aquí, así como su libro de texto ha $\prod_{i=1}^nx_i$ a la media de $x_1x_2\dots x_n$ como la notación se iban introduciendo para representar la multiplicación.

Creo que todo el mundo está de acuerdo en que $x_1\cdot x_2\cdots x_n$ es absolutamente horrible y debe ser evitado. Independientemente, a un grado, no estoy de acuerdo con Brian M. Scott comentario acerca de $x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n$ siendo la única "solución razonable." Por ejemplo, en David Gunderson libro Manual de Inducción Matemática, se llega a través de el siguiente ejercicio (captura de pantalla para preservar la autenticidad):

Por supuesto, que no es bonita. Tener cinco centro de los puntos es un poco exagerado, y que se ve bastante horrible. En ese caso, creo que la mejor solución es hacer lo que Brian citado y $1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)$ porque obviamente no puede tener $135\ldots(2n-1)$, pero Brian predilección por \ldots se ha indicado antes, donde a menudo se utiliza \ldots incluso entre las $+$ signos para obtener $+\ldots+$ (no creo que algo está equivocado acerca de esto; hay un sesgo en ese comentario, aunque).

Lo que es verdaderamente importante? Que la gente entienda lo que se está comunicando. Por supuesto, es bueno para componer las cosas muy bien y hacer un uso correcto de la notación, pero no creo que sea algo demasiado susceptible y puffy acerca (aunque estoy de acuerdo en $x_1\cdot x_2\cdots x_n$ es un poco decepcionante). Como el sorprendente egreg puntos (y egreg, si usted está leyendo esto, por favor me corrija si me fue mal en cualquier lugar), la notación $f : A\to B$ es ni siquiera correcto--debería ser $f\colon A\to B$, pero el primero es mucho más común por la razón que sea.

Answer 2

Usted puede escribir $$x_1 x_2 \cdots x_n = \prod_{i=1}^n x_i.$$

Esto no funciona bien para los productos cuyos primeros términos son literal de los números, sin embargo; en $$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = \prod_{i=1}^4 (2i-1),$$ configuración de los números sin ningún tipo de símbolo para la multiplicación sería simplemente incorrecta, en mi opinión.

Entre otras alternativas ya se ha mencionado, creo que tengo a veces visto espacio adicional insertado entre el punto que representa la multiplicación y los puntos que representan los puntos suspensivos:

$$x_1 \cdot x_2 \cdot \;\cdots\; \cdot x_n = \prod_{i=1}^n x_i.$$

De esta manera usted no tiene algo que se parece a cinco puntos en una fila.

En ese sentido, $$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \;\cdots\; \cdot (2n-1) = \prod_{i=1}^n (2i-1).$$