Transformación de Stieltjes

Question

Transformación de Stieltjes para una distribución $F(x)$ se define como

$$m(z)=\int \frac{dF(x)}{xz}$$ donde z es complejo con partes imaginarias positivas y $F(x)$ es una función de distribución.

Básicamente, estoy atascado con la evaluación de las transformaciones de Stieltjes para PDFs dados.

Me he referido a "Random matrix theory and wireless communications By Antonia M. Tulino, Sergio Verdú" y en la página 37 http://bit.ly/qnf39U , dan un ejemplo

$$S(z)=\frac{1}{2}\int_{-2}^2 \frac{\sqrt{4x^2}}{(xz)}\;dx = \frac{1}{2}\left[z\pm \sqrt{z^24}\right].$$ No entiendo cómo han llegado a este resultado. ¿Alguna pista?

Answer 1

Supongo que se puede demostrar que esta identidad se mantiene utilizando un problema de Riemann-Hilbert.

Considere el siguiente problema:

(RHP) Buscar una función analítica $f:\mathbb{C}\setminus [-2,2]\to\mathbb{C}$ tal que:

(i) $f_{+}(s)=f_{-}(s)-\sqrt{4-s^2}$ para $s\in [-2,2]$
(ii) $f(z)\to 0$ cuando $|z|\to\infty$ .

Aquí $f_{+}(s)$ denota el valor límite de $f(z)$ cuando $z$ tiende a $s\in [-2,2]$ desde el plano de la mitad superior. Del mismo modo, definimos $f_{-}(s)$ pero ahora el punto $z$ enfoques para $s$ desde el plano de la mitad inferior. Nótese que estamos considerando el intervalo orientado desde $-2$ a $2$ .

Utilizando el Teorema de Morera y Liouville se puede demostrar que la solución es única (buen ejercicio). Para continuar observamos que la fórmula de Plemelj nos da la solución para este problema escalar de Riemann-Hilbert, es decir, $$ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{[-2,2]}\frac{f_{+}(s)-f_{-}(s)}{s-z}\ ds $$ Así que su tarea ahora es sólo calcular los saltos para $\frac{1}{2}[z+\sqrt{z^2-4}]$ en el contorno $[-2,2]$ . Sustituyendo la orientación del intervalo se obtiene el segundo valor $\frac{1}{2}[z-\sqrt{z^2-4}]$ . Te dejo este cómputo final, si tienes algún problema vuelve.

Answer 2

Esta respuesta llega tarde, pero de todos modos

Se puede calcular la integral de la pregunta integrando sobre un contorno complejo alrededor del corte de la rama [-2, 2]. Esta es una técnica estándar en la integración compleja.