¿Por qué se considera que un conjunto abierto en $(.5, 1]$ $[0, 1]$?

Question

¿Por qué se considera que un conjunto abierto en $(.5, 1]$ $[0, 1]$? Se trata de un libro de topología.

Answer 1

Supongamos que $X$ es un espacio topológico, y $S\subseteq X$ es cualquier subconjunto de $X$. A continuación, consta de la topología de subespacio sobre $S$ $$\{U\subseteq S\mid\exists\text{ an open }V\subseteq X\text{ such that }U=V\cap S\}$ $ tomar así $X=\mathbb{R}$ y $S=[0,1]$. ¿Puedes pensar en un subconjunto abierto $V\subseteq\mathbb{R}$ tal que $V\cap S=(0.5,1]$?

Answer 2

Los conjuntos abiertos en un subespacio $ S \subseteq X$ son simplemente las $ U \cap S,$ donde $U$ en este caso es cualquier conjunto abierto de $X.$ $X$ es la línea verdadera, el intervalo de $(1/2,3)$ es un conjunto abierto en $X,$ y la intersección con $S = [0,1]$ por lo tanto, está abierta en la topología de subespacio. Es probable que vale la pena su tiempo para demostrar que esta definición da una topología en un subconjunto.

Answer 3

Si piensas $[0,1]$ como un espacio métrico con la métrica generalmente restringida a él, entonces su conjunto es la bola abierta (en el espacio métrico $[0,1]$) de radio $0.5$ con centro $1$. Bolas abiertas son conjuntos abiertos.