Ampliación Mittag-Leffler

Question

Estoy intentando realizar lo que se describe en mis notas como una "Expansión Mittag-Leffler", pero primero debo demostrar que esta expansión es válida.

Dado que

$$ f(z) = \frac{1}{\sin{z}} - \frac{1}{z}$$

Sea $C$ sea la frontera orientada positivamente del rectángulo $-\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi \le x \le \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi$ , $-n\pi \le y \le n\pi$ donde $z= x + iy$ . Demuestre que $|\sin(z)| = \mathcal{O}(e^{|n|\pi})$ en la parte superior e inferior, y así $f(z) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)$ allí. Demuestre también que $|\sin(z)| = \cosh(y)$ en los laterales, utilícelo para delimitar $| f(z) |$ por una constante allí, y así limitar $|f(z)|$ por una constante a lo largo de todo el $C$ .

Mi trabajo:

Pude demostrar que $|\sin(z)| = \cosh(y)$ en los laterales.

Lo tengo. $|\sin(z)| = \sinh(y)$ en la parte superior e inferior por $$\lvert \sin(x+iy)\rvert = \lvert \frac{e^{-i(x+iy)}-e^{i(x+iy)}}{2} \rvert \le \frac{e^{|y|}-e^{-|y|}}{2} = \sinh(y) = \sinh(|n|\pi)$$

No estoy seguro de si esto es correcto, ya que no estoy seguro de lo que la secuencia de comandos $\mathcal O$ significa. Tampoco veo cómo se supone que debo "atar $| f(z) |$ por una constante", como $\cosh(y)$ no está acotado ya que $y$ se acerca a $\infty$ .

Answer 1

No estoy seguro de si esto es correcto, ya que no estoy seguro de lo que la secuencia de comandos $\mathcal O$ significa.

Como sugirió @RobertIsrael, ayuda entender qué grande- $\mathcal O$ notación significa. A grandes rasgos, significa que una función dada crece "tan rápido como" otra función hasta cierto factor constante.

Tampoco veo cómo se supone que debo "atar $|f(z)|$ por una constante", como $\cosh(y)$ no está acotado ya que $y$ se acerca a $\infty$ .

Bueno la pregunta le pide que atar $|f(z)|$ no $\cosh(y)$ :P

Demuestre que $|\sin(z)| = \mathcal{O}(e^{|n|\pi})$ en la parte superior e inferior, y así $f(z) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)$ allí.

Ya ha demostrado que

$$ |\sin(z)| \le \frac{1}{2} (e^{n \pi} - e^{-n \pi})$$

En $n \to 0$ , $e^{n \pi}$ crece exponencialmente mientras que $e^{-n \pi}$ decae exponencialmente, por lo que para grandes $n$ sólo $e^{n \pi}$ es significativo. Por lo tanto, podemos concluir que $|\sin(z)| = \mathcal{O}(e^{|n|\pi})$ .

A partir de aquí podemos analizar el comportamiento de $f(z)$ en las líneas superior e inferior:

$$\begin{align} |f(z)| &= \left|\frac{1}{\sin z} - \frac{1}{z}\right| \\ &\le \frac{1}{|\sin z|} + \frac{1}{|z|} \\ &\le \frac{1}{|\sin z|} + \frac{1}{|n \pi|} \\ &= \mathcal O\left(\frac{1}{e^{|n|\pi}}\right) + \mathcal O\left(\frac{1}{|n|}\right) \\ &= \mathcal O\left(\frac{1}{n}\right) \end{align}$$

Demuestre también que $|\sin(z)| = \cosh(y)$ en los laterales, utilícelo para delimitar $| f(z) |$ por una constante allí,

Ya tiene

$$ |\sin(z)|=\cosh(y) $$

En el eje real, $\cosh$ tiene un mínimo de 1, por lo que su recíproco es como máximo 1. Por lo tanto

$$ \frac{1}{|\sin(z)|} \le 1 $$

A continuación, podemos repetir el mismo procedimiento para analizar las líneas izquierda y derecha (saltándonos algunos pasos):

$$\begin{align} |f(z)| &\le 1 + \frac{1}{(n + \frac{1}{2}) \pi} \le 1 + \frac{1}{3 \pi / 2} \end{align}$$

y así sucesivamente $|f(z)|$ por una constante a lo largo de todo el $C$ .

En las líneas superior e inferior, $|f(z)|$ disminuye hacia cero a medida que $\mathcal O\left(\frac{1}{n}\right)$ , mientras que en las líneas izquierda y derecha, $|f(z)|$ está limitada desde arriba por un valor constante $1 + \frac{2}{3 \pi}$ . Por lo tanto, el valor de la función está limitado en todos los contornos por esta constante.