¿Función holomorfa inyectiva en anillo => inyectiva en el disco de la unidad?

Question

Que $f(z)$ ser analítico sobre la unidad de disco y Supongamos que hay un anillo $U =$ {$z ∈ C| r < |z| < 1$} tal que $f(z)$ restringido al anillo U es inyectiva. Mostrar que f es inyectiva en el disco de la unidad.

He intentado mostrar que $g(z) = f(z) - f(z_0)$ tiene solamente uno cero en el disco de la unidad, pero ¿cómo puedo usar la hipótesis del anillo?

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero podría ser útil. Si no, voy a la basura más tarde.

Tenga en cuenta que $$\phi:z\mapsto \frac{1}{|z|}\Big(1-(1-r)|z|\Big) \cdot z,\quad 0\mapsto 0$$ los mapas de cualquier punto de abrir la unidad de disco $D$ en el anulus $A$ - geométricamente, es sólo una circular de la inversión de la asignación de $|z|\in(0,1)$$|\phi(z)|\in(r,1)$. Lo que es más importante, es un bijection.

Fix $z_0\not=0$ y dejar

$g(z)=f(\phi(z))-f(\phi(z_0))$

Entonces $$g(z)=0\iff f(\phi(z))=f(\phi(z_0))$$ pero $\phi(D-\{0\})=A$, por lo que si $z\not=0$$\phi(z)=\phi(z_0)$$z=z_0$.

Sólo tenemos que ver lo que sucede si $z=0$. $f$ es analítica para $$f(z)=f(0)+\sum_{n=1}^\infty a_n z^n$$ Ahora $f(0)=f(\phi(z_0))$ si y sólo si $$f(0)=f(0)+\sum_{n=1}^\infty a_n \phi(z_0)^n$$ que es $\phi(z_0)=0$, y por lo $z_0=0$.

Por lo tanto, $g(z)=0$ si y sólo si $z=z_0$ sobre la totalidad de abrir la unidad de disco.

Se puede utilizar esta información de alguna manera?