Descargo de responsabilidad: Este hilo está destinado informativo y, por tanto, escrito en el Q&A de estilo. Los problemas que se destacan en negrita.
El axiomatization de topología se puede hacer de varias formas, todas ellas con sus propias ventajas. Aquí me gustaría investigar dos de ellos específicamente.
Hay el uno por abrir sets dan generalmente: $$\bullet \#I<\infty:\quad A_i\in\mathcal{T}\implica \bigcap_{i\in I}\in\mathcal{T}\\ \bullet \#I\leq\infty:\quad A_i\in\mathcal{T}\implica\bigcup_{i\in I}A_i\in\mathcal{T}$$ y uno de los barrios introducido por Felix Hausdorff: $$\bullet\subseteq B:\quad Un\in\mathcal{N}(x)\implica B\in\mathcal{N}(x)\\ \bala a,B\in\mathcal{N}(x)\implica A\cap B\in\mathcal{N}(x)\\ \bullet \forall x\in X:\quad\mathcal{N}(x)\neq\{\}\\ \bullet\in\mathcal{N}(x)\implica x\in A\\ \bullet\in\mathcal{N}(x)\implica\existe C_0\in\mathcal{N}:\quad\in\mathcal{N}(c)\text{ para todo }c\en C_0(x)$$ Demostrar que cualquier familia de abiertos conjuntos de dar lugar a un vecindario en el sistema a través de: $$A\in\mathcal{N_T}(x):\iff\exists U_0\in\mathcal{T}:\quad x\in U_0\subseteq A\quad$$ y que cualquier barrio del sistema da lugar a una familia de abiertos establece a través de: $$A\in\mathcal{T_N}:\iff\forall a\in A:\quad A\in\mathcal{N}(a)$$ Además de demostrar que sus equivalentes en el sentido de: $$\mathcal{T}\mapsto\mathcal{N_T}\mapsto\mathcal{T}\text{ and }\mathcal{N}\mapsto\mathcal{T_N}\mapsto\mathcal{N}$$ (Tenga en cuenta que tanto debe ser revisado con el fin de garantizar la inyectividad y surjectivity.)
Por lo que podemos alternar entre ambas descripciones para la topología. Aquí hay dos situaciones en las que esto es explotado:
una. El interior está definido a través de los barrios: $$A^\circ:=\{z:A\in\mathcal{N}(z)\}$$ Es contenida y abierto (ver Topología: Interior): $$A^\circ\subseteq A\text{ and }A^\circ\in\mathcal{N}(z)\text{ for all }z\in A^\circ$$ Por lo tanto, los barrios tiene interior no vacío: $$A^\circ=\bigcup_{A\supseteq U\in\mathcal{T}}U$$ b. La continuidad se define a través de los barrios: $$N\in\mathcal{N}(f(x))\implies f^{-1}N\in\mathcal{N}(x)$$ Por lo tanto localmente convexo espacios topología se implicó totalmente en cualquier momento: $$N\in\mathcal{N}(x)\iff N+a\in\mathcal{N}(x+a)$$
Así, mientras que abrir conjuntos de reflejar los aspectos generales de la topología de las correlaciones entre el espacio por sí mismo y de la topología de volverse lúcido a través de los barrios.
