Si $\frac{a+b}2$ es racional, ¿podemos decir que $a,b$ son racionales?

Question

La cuestión es si se da que $$ {a+b\over 2} \in \Bbb Q $$ probar o refutar $a,b \in \Bbb Q$ .

Como se trata de refutar, he probado el siguiente método mediante ejemplos.

Toma $$a = 1 + \sqrt{2} \in I \,( \text{Irrational}Numbers) $$ Toma $$b = 1 - \sqrt{2} \in I \,(\text{Irrational Numbers}) $$ $$ {a+b\over 2} = {1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}\over 2} = 1 \in \Bbb Q $$

¿Es esto suficiente para refutar la afirmación anterior? ¿O hay alguna forma mejor?

Answer 1

¿Hay alguna forma mejor?

Como todo lo que hay que hacer es dar un contraejemplo, no hay mucha necesidad de intentar mejorar su "refutación"; sin embargo, una consideración más sencilla y global se prestaría a múltiples contraejemplos.

Dejemos que $\mathbb{I}$ denotan el conjunto de números irracionales. Supongamos que $a,b\in\mathbb{I}$ , donde $b=-a$ . Entonces $$ \frac{a+b}{2}=\frac{a+(-a)}{2}=\frac{0}{2}\in\mathbb{Q},\;a,b\not\in\mathbb{Q}.\tag{1} $$ ¿Cómo es esto una mejora? Bueno, no tienes que demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional. Tampoco tienes que demostrar que la suma de un número racional y un número irracional es irracional (es decir, $1+\sqrt{2}$ es irracional, lo que parece dar por sentado).

Básicamente, en $(1)$ En este caso, el trabajo de campo es mínimo para una consideración que da pie a innumerables contraejemplos.

Answer 2

Hay muchos contraejemplos. (a+b)/2=x a+b=2x Mientras a y b sumen un número par, es posible. Supongamos que 0 < a < 1 (Número impar+a)+(número par+[1-a])=Número impar+1=número par También puedes cambiar esto un poco y puedes obtener más ecuaciones para los ejemplos de contadores.