una pregunta sobre el cálculo de los autovectores

Question

Tiene que ser la más extravagante pregunta, pero no me queda claro cómo calcular los vectores propios rápidamente. Estoy hablando sólo de una forma muy sencilla de 2-por-2 de la matriz.

Cuando ya he calculado los valores propios de un polinomio característico, puedo empezar a resolver las ecuaciones con $A\mathbf{v}_1 = e_1\mathbf{v}_1$ y Un\mathbf{v}_2 = e_2\mathbf{v}_2$, pero en este caso siempre se requiere la escritura de líneas de ecuaciones y su resolución.

Por otro lado me di cuenta de que con sólo mirar la matriz que usted puede venir para arriba con los vectores propios muy rápidamente. Pero estoy un poco confundida en esta parte.

Cuando se tiene la matriz con restado $e_1$ valores como esto: $$\left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array}\right).$$

Entonces, para mí, siempre trabajó para utilizar el autovector. $$\left(\begin{array}{r}-B\\A\end{array}\right)$$

Pero en algunas guías me parece que están utilizando Una C como un autovector. $$\left(\begin{array}{c}A\\C \end{array}\right).$$

Y cuando compruebo que, de hecho, son múltiplos uno de otro. Pero en este método no está claro para mí, ¿cómo podría $A$ $C$ quiere decir nada sobre el autovector, cuando ambos están conectados a $x$, sin tener que hacer nada con $y$. Pero se sigue trabajando. Fue sólo una coincidencia?

Así es el método recomendado para el cálculo de ellos es solo para restar los autovalores de la matriz y mirar $$\left(\begin{array}{r} -B\\A\end{array}\right)\qquad\text{o}\qquad\left(\begin{array}{r} -D\\A \end{array}\right).$$

Answer 1

(Tenga en cuenta que usted está usando $A$, para las dos cosas en tu post: es la matriz original y, a continuación, es una entrada de la matriz; de eso es de muy mala forma. y es probable que llevar a la confusión; no utilice nunca el mismo símbolo para representar dos cosas diferentes).

Así que, si lo entiendo: usted comienza con una matriz de $\mathscr{A}$, $$\mathscr{A} = \left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right).$$

Entonces, si usted sabe que $e_1$ es un autovalor, luego buscar en la matriz que se obtiene al restar $e_1$ a partir de la diagonal: $$\left(\begin{array}{cc} a_{11}-e_1 & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}-e_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}A&B\\C&D \end{array}\right).$$

Ahora, la cosa clave a recordar es que, debido a $e_1$ es un autovalor, que significa que la matriz es singular: un autovector correspondiente a $e_1$ será necesariamente mapa a $\mathbf{0}$. Eso significa que el determinante de esta matriz es igual a $0$, lo $AD-BC=0$.

Esencialmente: una de las filas de la matriz es un múltiplo de la otra; una de las columnas es un múltiplo de la otra.

Lo que esto significa es que el vector $\left(\begin{array}{r}-B\\A\end{array}\right)$ se asigna a $0$: porque $$\left(\begin{array}{cc} A&B\\C&D\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-B\\A\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-AB+AB\\-BC+AD \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$$ debido a $AD-BC=0$. Si $A$ $B$ no son ambos cero, entonces esto le da un autovector.

Si tanto $A$ $B$ son cero, sin embargo, este método no funciona porque le da el vector cero. En ese caso, la matriz que están mirando es $$\left(\begin{array}{cc}0&0\\C&D \end{array}\right).$$ Un vector que se asigna a cero es $\left(\begin{array}{r}-D\\C\end{array}\right)$; que le da un autovalor a menos $C$ $D$ son ambos cero como en el caso de que cualquier vector va a hacer.

Por otro lado, ¿qué acerca de los vectores $\left(\begin{array}{r}A\\C\end{array}\right)$? Que el vector está asignado a un múltiplo de sí mismo por la matriz: $$\left(\begin{array}{cc} A&B\\C&D\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\C\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}A^2 + BC\\AC+DC\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}A^2+AD\\AC+DC\end{array}\right) = (A+D)\left(\begin{array}{c}A\\C\end{array}\right).$$ Sin embargo, usted está buscando un vector que se asigna a $\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}\right)$, no de un vector que se asigna a un múltiplo de sí mismo por esta matriz.

Ahora, si el original de la matriz tiene determinante cero ya, y no ha restado el autovalor de la diagonal, entonces he aquí por qué esto va a funcionar: la suma de los dos valores propios de la matriz es igual a la traza, y el producto de los dos valores propios es igual al determinante. Desde el determinante es $0$ bajo este supuesto, entonces, uno de los autovalores es $0$, por lo que el otro autovalor es igual a la traza, $a_{11}+a_{22}$. En este caso, el vector $\left(\begin{array}{c}A\\C\end{array}\right)$ es un autovector de a $\mathscr{A}$ correspondiente a $a_{11}+a_{22}$, a menos que $A=C=0$ (en cuyo caso $\left(\begin{array}{r}a_{22}\\a_{11}\end{array}\right)$ es un autovector menos $\mathscr{A}$ es la matriz cero).

Añadido. Como Robert Israel señala, sin embargo, hay otro punto aquí. Recuerde que $e_1+e_2 = a_{11}+a_{22}$, $A=a_{11}-e_1 = e_2-a_{22}$; y que $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} = e_1e_2$; si tomamos el vector $\left(\begin{array}{c}A\\C\end{array}\right)$ con el original de la matriz $\mathscr{A}$, tenemos: $$\begin{align*} \left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\C\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{c} a_{11}A + a_{12}C\\a_{21}A + a_{22}C.\end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{c} a_{11}(e_2-a_{22}) + a_{12}a_{21}\\ a_{21}(e_2-a_{22}) + a_{22}a_{21} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} e_2a_{11} + (a_{12}a_{21}-a_{11}a_{22})\\ e_2a_{21} + (a_{22}a_{21} - a_{22}a_{21} \end{array}\right)\\ &= \left(\begin{array}{c} e_2a_{11} - e_1e_2\\ e_2a_{21} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} e_2(a_{11}-e_1)\\e_2a_{21} \end{array}\right)\\ &= e_2\left(\begin{array}{c} a_{11}-e_1\\a_{21} \end{array}\right) = e_2\left(\begin{array}{c}A\\C \end{array}\right). \end{align*}$$ Así que si $A$ $C$ no son ambos cero, $\left(\begin{array}{c}A\\C\end{array}\right)$ es un vector propio para el otro autovalor de a $\mathscr{A}$.

Para resumir:

1. Si se resta el valor propio de la diagonal, y en la resultante de la matriz de la primera fila no es igual a $0$, entonces su método producirá un autovector correspondiente al autovalor que resta.

2. Si se resta el valor propio de la diagonal, y en la matriz resultado de la primera columna no es igual a $0$, luego de tomar esa columna producirá un autovector correspondiente para el otro autovalor de a $\mathscr{A}$ (no el que se resta).

Answer 2

Por favor, pasa a través de esta lista, uno por uno.

1. Su método de trabajo siempre y cuando cualquiera de $A$ o $B$ no es cero.
2. Cuando no funciona? Trate de calcular el vector propio de a $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \right )$.
3. ¿El método de toma de $\left(\begin{smallmatrix} A\\C \end{smallmatrix} \right )$ trabajo? Trate de calcular el vector propio de a $\left(\begin{smallmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 7 \end{smallmatrix} \right )$ y verlo por ti mismo.
4. Lo que es una obvia solución a la ecuación de $Ax+By=0$? Sugerencia: tiene algo que ver con su método.
5. Dicen que cuando cualquiera de las $A$ o $B$ es distinto de cero, lo que va a pasar a la segunda fila cuando usted hace una reducción de la fila? Por qué? Recuerde, el determinante de a $\left(\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix} \right )$ es cero.
6. Puede usted ver por qué su método funciona por ahora?