Soy un neurociencia estudiante de posgrado, y espero que uno de ustedes me podría ayudar a resolver este problema con respecto a la partícula de difusión. Se relaciona con mi investigación sobre el nivel molecular de la plasticidad neuronal, pero he enmarcado el problema en términos generales a continuación. Esto probablemente requerirá que usted tenga alguna experiencia con ecuaciones diferenciales estocásticas. Cualquier idea es muy apreciada. Gracias!
El problema en pocas palabras
Estoy interesado en última instancia en el promedio de estado estacionario de la densidad de las partículas que se pueden esperar en una región definida del espacio, cuando las partículas se están difundiendo con movimientos aleatorios -- asumen partícula de difusión es el movimiento Brownianocon deriva cero, y tiene una constante de difusión coeficiente de velocidad.
Por ejemplo, estoy buscando una solución numérica para el promedio de estado estacionario de la densidad de partículas en dos circulares subregiones con un diámetro de 0,8 unidades arbitrarias (ua) contenida dentro de una rectangular 3x6 au superficie plana (estas subregiones están a igual distancia de los bordes - ver más abajo). Aquí, vamos a definir 1 ua de distancia como de 1 micra (µm). En este 18 µm2 espacio de la partícula coeficiente de difusión es de 0,1 micras 2/s, excepto en la circular subregiones; en la subregión-1 la tasa de difusión es de 0,05 micras 2/s, en la subregión-2 la tasa de difusión es de 0,01 micras 2/s. Las condiciones de contorno pueden ser considerados de "rebote", y hay un total de 200 partículas en este sistema cerrado. La solución debe ser capaz de generalizar a cualquier número de partículas, pero la solución de esta situación sería genial para empezar.
Vea la pregunta visualmente aquí representados en la figura 1, junto con los dos gráficos que se describe a continuación.
Los datos de cada punto en la gráfica se representa el promedio de estado estacionario de la densidad de partículas de 10 independiente de simulación de juicios.
Los Resultados De La Simulación De Monte Carlo
Figuras
(Fig 1) he simulado el escenario anterior usando Matlab. Las partículas difusa a lo largo de la superficie 2D de una rectangular cerrado entorno que contenía dos iguales-área de subregiones con una tasa de difusión ligeramente inferior a la de la difusión global de la tasa de 0,1 micras 2/s. El coeficiente de difusión (Dcoeff) de la parte inferior de la circular de la subregión fue establecido en 0,01 micras 2/s, mientras que la parte superior de la subregión se establece en 0.05 µm2/s. Había 500 tiempo total-pasos en cada simulación. El calor que el mapa se ve en la derecha pone de relieve las regiones de la relativamente alta densidad de partículas en el final de la simulación (aka en estado estacionario); la cual se llevó a cabo utilizando la matriz de convolución de la partícula de lugares con una Gaussiana en forma de máscara (arriba a la derecha).
(Fig 2) Los coeficientes de difusión se mencionó anteriormente resultó en promedio en estado estable la densidad de partículas de valores que eran muy diferentes entre las dos subregiones, con poca variación (CI sobres reflejar ruido para 10 iteraciones). La parte superior de la subregión promedio de ~15 de partículas en estado estacionario (verde), mientras que a la región inferior promedio de ~60 partículas (rojo). La tercera línea (azul) representa el estado estacionario de la densidad de las partículas en una región circular del mismo tamaño que las dos subregiones, pero se estableció en el global de la tasa de difusión.
(Fig 3) Esta figura muestra los efectos de la celebración de la Dcoeff de una subregión constante en 0,01 micras 2/s, mientras que el cambio de la otra Dcoeff de 0,01 micras 2/s 0,05 µm2/s (0.01 µm2/s incrementos).
(panel de la izquierda) El Dcoeff proporción a cada paso (calcula simplemente dividiendo el conjunto de pre-velocidades de difusión de las dos subregiones) y la resultante de estado estacionario de la densidad de las partículas en cada una de ellas son casi exactamente proporcional.
(panel derecho) Curiosamente, las partículas de disponibilidad afecta mínimamente a este resultado - como la parte superior de la subregión de la transición de 0,01 micras 2/s 0,05 µm2/s en última instancia, se hizo un adicional de 25-30 partículas disponible en todo el mundo, pero sólo una pequeña parte de ellos acumulados en la parte inferior de la subregión que había un establo Dcoeff de 0,01 micras 2/s a lo largo de este auxiliares de la simulación).
La pregunta de matemática y prueba de concepto
Creo que la partícula de difusión se puede resumir como Wiener y proceso de movimiento Browniano con deriva cero, y la prueba de Kolmogorov hacia adelante ecuación (aka Fokker Tablón de la ecuación) se describe el tiempo de evolución de la PDF de un proceso aleatorio. Sin embargo, no es inmediatamente claro para mí cómo definir el sODE (o sPDE); en consecuencia, ni siquiera tengo un buen sentido de la dificultad de esta pregunta. En definitiva, lo que estoy buscando, es una ecuación donde los puedo entrar a estas constantes:
-
Co(Exterior de la caja xy dimensiones) -
Ci(Círculo interno de radio) -
Do(coeficiente de difusión de Co) -
Di(coeficiente de difusión para Ci) -
N(número total de partículas en el sistema cerrado)
Y la salida va a proporcionar a la espera de la densidad de partículas en Co y Ci en estado estacionario. Tenga en cuenta que yo también estoy interesado en la tasa de cambio en estos valores si de repente D cambios de 0.01 µm²/s a 0.05 µm²/s, pero lo primero es lo primero.
Yo creo que el estado estacionario ecuación de difusión será de uso:
∇D(r)∇n(r)=0
con dependencia espacial del coeficiente de difusión
D(r)
y prescrito número total de partículas
N=∫n(r)dr
Si usted tiene una respuesta, por favor, utilice el ejemplo que muestra la entrada/salida. Me gustaría probarlo en contra de la simulación de Monte Carlo a ser convencidos. Si el hecho de que las dos dimensiones de la geometría no tiene especial simetría (que impide una forma cerrada de la solución), siéntase libre de cortar sólo el sistema en la mitad, de tal manera que estamos considerando sólo la parte inferior cuadrado de 3x3 con la circular de la subregión, directamente en el centro. De hecho, si es que lo hace mucho más fácil, el contenedor externo puede ser circular así.
De nuevo, cualquier ayuda se agradece mucho! Saludos para compartir sus habilidades.
