En la conmutativa caso, sí.
Por la característica universal de la localización, ya que la composición de la canónica de la incrustación y el cociente mapa
$$ R\hookrightarrow R[x_s]\to R[x_s]/I$$
mapas de $R$ a un anillo en el que cada una de las $s\in S$ tiene una inversa, entonces obtendremos un mapa de $S^{-1}R\to R[x_s]/I$ que se asigna a$\frac{r}{s}$$rx_s + I$.
Por el contrario, la característica universal del polinomio anillos dice que no hay un único anillo homomorphism de $R[x_s]$ $S^{-1}R$que se asigna a $R$ a sí mismo de forma idéntica, y envía a$x_s$$s$. Este mapa de factores a través de los ideales generados por $sx_s - 1$, ya que estos elementos se asignan a cero, dando un homomorphism $R[x_s]/I \to S^{-1}R$ $r+I\mapsto \frac{rt}{t}$ (para un arbitrario $t\in S$) y $x_s+I\mapsto \frac{1}{s}$. Los mapas son inversos el uno del otro, por lo que son isomorphisms.
El argumento no funciona en el no conmutativa caso (y el isomorfismo no es cierto, porque eso requeriría $\frac{1}{s}$ a centralizar $R$, que generalmente no es el caso), pero si usted toma el polinomio anillo" (en noncommuting variables), a continuación, el mismo argumento funciona; pero hay que añadir $x_ss-1$ a su ideal de generación, así que si usted quiere que su $s$ a ser "verdaderamente" es invertible; recuerde que en el no conmutativa caso, $sx_s = 1$ no implica $x_ss=1$.
Añadido. La respuesta, como hace Mariano, en el no conmutativa caso, se supone que no es un anillo de fracciones de $R$$S$. La definición de tal cosa es algo delicado (por ejemplo, se debe especificar en el que los lados de la "denominadores" acto; por su ideal, que tendría que ser "de derecha "denominadores"),y el objeto no siempre existen. Si es que existe, va a ser isomorfo a un cociente de dar por el uso de las adecuadas propiedades universales, tal como se dijo anteriormente. Pero si usted no tiene un "anillo de fracciones", el no-conmutativa polinomio de la construcción no se dé un verdadero "anillo de fracciones", sólo alguna otra estructura.
Usted podría también ser cuidadoso acerca de lo que "el anillo de fracciones existe". Esto puede significar un anillo en el que $R$ incrusta y en el que todos los elementos de a $S$ tienen inversos, en cuyo caso puede ser que se asume que los elementos de la $S$ no son divisores de cero. Con no conmutativa anillos, incluso con elementos que no lo son (por una cara) divisores de cero, usted puede contraer el anillo al intentar unirse a los inversos, que luego serían conocidos como diciendo: "no hay ningún anillo de fracciones" (vea el documento de Cohn vinculados por Bill Dubuque, donde después de mostrar que siempre hay un "universal" ring donde los elementos de la $S$ tienen inversos, se observa que el interés es tener la $R$ incrustar en un anillo). Como recuerdo de la escucha de las conversaciones por no conmutativa anillo teóricos, se suele hablar de la incrustación $R$ en un "anillo de cocientes" tratando de invertir todo distinto de cero-divisores, y esto no siempre es posible; por lo que el problema se refiere simplemente puede ser que tengas algo de colapso.
